(**) Um recipiente rígido e termicamente isolante com um volume de 22,4 litros é preenchido com um mol de gás hélio ( 4 g por mol) a uma temperatura de 0{ }^{\mathrm{o}} \mathrm{C} ( 273 \mathrm{K}). O recipiente situa-se em uma sala, cercado por ar nas CNTP.
(a) Calcule a pressão no interior do recipiente \mathrm{em} \mathrm{N} / \mathrm{m}^{2}.
(b) Calcule a raiz quadrada da velocidade quadrática média dos átomos de hélio.
(c) Agora abra um pequeno orifício quadrado no recipiente, com área 1 \times 10^{-8} \mathrm{~m}^{2} (o orifício tem 0,1 \mathrm{~mm} de lado). Após 5 s , quantos átomos de hélio deixaram o recipiente?
(d) Moléculas de ar da sala penetram o recipiente através do orifício durante esses 5 s. O que é maior: o número de moléculas de ar que penetram o recipiente ou o número de átomos de hélio que escapam dele? Explique sucintamente.
(e) A pressão no interior do recipiente aumenta ligeiramente, permanece a mesma ou diminui ligeiramente durante esses 5 s? Explique sucintamente.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (resumidos passo a passo, com tudo que vamos usar):
  • Volume do recipiente: V=22{,}4 litros =0{,}0224\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Quantidade de gás hélio: n=1 mol (massa molar do hélio M_{\mathrm{He}}=4\\ \mathrm{g/mol}=0{,}004\\ \mathrm{kg/mol}).
  • Temperatura inicial: T=0{ }^{\circ}\mathrm{C}=273\\ \mathrm{K}.
  • O recipiente é rígido e termicamente isolante; está numa sala com ar às CNTP (pressão externa \approx 1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}, T=273\\ \mathrm{K}).
  • Orifício: área A=1\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{2}} (lado 0{,}1\\ \mathrm{mm}).
  • Tempo considerado para o orifício aberto: t=5\\ \mathrm{s}.

    Perguntas pedidas:
    (a) Calcular a pressão no interior do recipiente em \mathrm{N/m^{2}}.
    (b) Calcular a raiz quadrada da velocidade quadrática média (ou seja, a velocidade quadrática média \sqrt{\langle v^{2}\rangle}) dos átomos de hélio.
    (c) Após 5\\ \mathrm{s}, quantos átomos de hélio deixaram o recipiente através do orifício?
    (d) Comparar: o número de moléculas de ar que penetram o recipiente durante esses 5\\ \mathrm{s} é maior ou menor que o número de átomos de hélio que escapam? Justificar sucintamente.
    (e) Durante esses 5\\ \mathrm{s}, a pressão no interior aumenta ligeiramente, permanece a mesma ou diminui ligeiramente? Justifique sucintamente.

    Observação: todos os cálculos usam o gás ideal e a teoria cinética molecular; sempre informarei o significado das fórmulas/variáveis quando usadas.

Passo 2

(a) Cálculo da pressão usando a lei dos gases ideais.

Fórmula da gás ideal (vou explicar cada símbolo):
pV=nRT
onde p é a pressão (em \mathrm{Pa}), V é o volume (em \mathrm{m^{3}}), n é o número de mols, R é a constante universal dos gases R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\\ K)} e T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}).

Isolando p:
p=\frac{nRT}{V}.
Substituo os valores: n=1, R=8{,}314, T=273, V=0{,}0224.

Cálculo numérico (faço em passos pequenos para você ver como calcular sem calculadora grosa):
  • RT = 8{,}314\times273 = 2269{,}722 (unidade \mathrm{J/mol}).
  • nRT=1\times2269{,}722=2269{,}722.
  • 1/V = 1/0{,}0224 \approx 44{,}642857.

    Então
p \approx 2269{,}722\times44{,}642857 \approx 1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Comentário didático curto: esse resultado é justamente a pressão atmosférica padrão (CNTP) — faz sentido porque um mol de gás ideal ocupa 22{,}4 litros a 0^\circ\mathrm{C} e 1 atm.

Passo 3

(b) Cálculo da velocidade quadrática média (velocidade RMS, root-mean-square).

Na teoria cinética, a velocidade quadrática média é dada por
\sqrt{\langle v^{2}\rangle} = v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}.
Aqui k é a constante de Boltzmann e m é a massa de uma única partícula. Mas como trabalhamos com mols é mais prático usar a forma com R e massa molar M (massa por mol):
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}},
onde M está em \mathrm{kg/mol}.

Definições:
  • R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\\ K)},
  • T=273\\ \mathrm{K},
  • M_{\mathrm{He}}=0{,}004\\ \mathrm{kg/mol}.

    Faço por partes:
  • Calculo do numerador: 3RT = 3\times8{,}314\times273 = 3\times2269{,}722 = 6809{,}166.
  • Divido por M: 6809{,}166/0{,}004 = 1{,}702{,}291{,}5.

    Agora a raiz quadrada:
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{1{,}702{,}291{,}5}\\ \mathrm{m/s}\approx 1{,}305\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.

Comentário didático: essa velocidade é alta (cerca de 1{,}3\\ \mathrm{km/s}) porque o hélio é leve; a velocidade média cresce quando a massa das partículas é menor.

Passo 4

Explicação da fórmula de fluxo/efusão que usaremos em (c).
  • Em teoria cinética, a flux (número de partículas que atravessam uma unidade de área por unidade de tempo vindo de um lado) é
\Phi=\frac{1}{4}\,n\,\bar{v},
onde:
  • n é a densidade numérica (número de partículas por volume),
  • \bar{v} é a velocidade média (magnitude média das velocidades), não a RMS.
  • Justificativa simples e intuitiva: as moléculas se movem em todas as direções; aproximadamente metade vai em direção ao orifício e, dentre as direções, um fator geométrico 1/2 \times 1/2 = 1/4 aparece ao fazer a média angular. (Isso é o resultado clássico da teoria cinética.)
  • Relação entre \bar{v} e v_{\mathrm{rms}}:
\bar{v}=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}},
e a razão \bar{v}/v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{8}{3\pi}}\approx0{,}9213.

Vou calcular \bar{v} usando a relação com R,M,T.

Passo 5

Cálculo da densidade numérica n (número de partículas por volume) dentro do recipiente.
  • Número total de átomos inicialmente: N=N_{A}n_{\text{mol}}=N_{A}\times1, onde N_{A}=6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
  • Densidade numérica:
n=\frac{N}{V}=\frac{6{,}022\times10^{23}}{0{,}0224\\ \mathrm{m^{3}}}.
Faço a divisão:
n\approx 2{,}6889\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}}.

Comentário prático: esse valor é típico da densidade numérica de um gás a 1 atm — muitos átomos por metro cúbico.

Passo 6

(c) Cálculo da velocidade média \bar{v} do hélio e da taxa de escape (número de átomos que saem por segundo).

Velocidade média:
\bar{v}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}.
Substituo R=8{,}314, T=273, M=0{,}004.

Cálculos parciais:
  • Numerador: 8RT = 8\times8{,}314\times273 = 18{,}157{,}776.
  • Denominador: \pi M = \pi\times0{,}004 \approx 0{,}01256637.
  • Razão: 18{,}157{,}776/0{,}01256637 \approx 1{,}444{,}735\times10^{6}.

    Raiz:
\bar{v}\approx \sqrt{1{,}444{,}735\times10^{6}}\\ \mathrm{m/s}\approx 1{,}202\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
(Observação: \bar{v} é cerca de 0{,}9213 vezes v_{\mathrm{rms}}, consistente com o passo anterior.)

Agora a fluxo de saída por unidade de área:
\Phi_{\text{out}}=\frac{1}{4}n\bar{v}.
Substituo n\approx 2{,}6889\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}} e \bar{v}\approx1{,}202\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}:
  • Produto n\bar{v}\approx 2{,}6889\times10^{25}\times1{,}202\times10^{3}\approx 3{,}233\times10^{28}\\ \mathrm{m^{-2}s^{-1}}.
  • Divide por 4: \Phi_{\text{out}}\approx 8{,}083\times10^{27}\\ \mathrm{m^{-2}s^{-1}}.

    Taxa de átomos escapando pelo orifício (área A=1\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{2}}):
\text{taxa}=\Phi_{\text{out}}\times A \approx 8{,}083\times10^{27}\times10^{-8} = 8{,}083\times10^{19}\\ \mathrm{s^{-1}}.

Número de átomos que saem em t=5\\ \mathrm{s}:
N_{\text{esc}}=\text{taxa}\times t \approx 8{,}083\times10^{19}\times5 \approx 4{,}042\times10^{20}.

Arredondando com número de algarismos significativos razoável:
N_{\text{esc}}\approx 4{,}04\times10^{20}\\ \text{átomos de hélio (em 5 s).}áé

Passo 7

(d) Comparação com o número de moléculas de ar que penetram: raciocínio e cálculo aproximado.

Raciocínio: imediatamente após abrir, a pressão e a temperatura fora e dentro são praticamente iguais. Então a densidade numérica do ar fora é aproximadamente igual à densidade numérica do hélio dentro ( n_{\text{ar}} \approx n_{\text{He}}). A diferença estará nas velocidades médias: o ar tem massa molar média M_{\text{ar}}\approx 29\\ \mathrm{g/mol}=0{,}029\\ \mathrm{kg/mol}, bem maior que a do hélio 0{,}004\\ \mathrm{kg/mol}. Como \bar{v}\propto1/\sqrt{M}, as moléculas de ar movem-se mais lentamente.

Razão entre fluxos (mesma n, mesma área):
\frac{\Phi_{\text{He}}}{\Phi_{\text{ar}}}=\frac{\bar{v}_{\text{He}}}{\bar{v}_{\text{ar}}}=\sqrt{\frac{M_{\text{ar}}}{M_{\text{He}}}}.
Substituindo M_{\text{ar}}=0{,}029,\\ M_{\text{He}}=0{,}004:
\frac{\Phi_{\text{He}}}{\Phi_{\text{ar}}}=\sqrt{\frac{0{,}029}{0{,}004}}\approx\sqrt{7{,}25}\approx2{,}69.

Portanto, por unidade de tempo e área, saem cerca de 2{,}69 vezes mais átomos de hélio do que entram moléculas de ar. Logo, o número total de moléculas de ar que entram em 5\\ \mathrm{s} é menor do que o número de átomos de hélio que escapam nesses 5\\ \mathrm{s}.

Podemos fazer o cálculo numérico do número de moléculas de ar que entram (cheque rápido):
  • Velocidade média do ar \bar{v}_{\text{ar}}=\bar{v}_{\text{He}}/2{,}69\approx 1{,}202\times10^{3}/2{,}69\approx 4{,}465\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}.
  • Fluxo de entrada \Phi_{\text{in}}=(1/4)n\bar{v}_{\text{ar}}\approx (1/4)\times2{,}6889\times10^{25}\times4{,}465\times10^{2}\approx 2{,}417\times10^{27}\\ \mathrm{m^{-2}s^{-1}}.
  • Taxa entrando pela área A: \approx2{,}417\times10^{19}\\ \mathrm{s^{-1}}. Em 5\\ \mathrm{s}: \approx1{,}21\times10^{20} moléculas de ar.

    Comparando com N_{\text{esc}}\approx4{,}04\times10^{20}: as moléculas de ar que entram ( \approx1{,}5\times10^{20} pelo cálculo anterior refinado ou \approx1{,}21\times10^{20} dependendo de arredondamentos) são bem menores que os átomos de hélio que escapam. Conclusão limpa: mais átomos de hélio escapam do que moléculas de ar entram (fator cerca de 2{,}7).

Passo 8

(e) Efeito sobre a pressão interior durante os 5\\ \mathrm{s}.
  • Pressão de um gás ideal é p=\frac{N k T}{V} (ou p=\frac{nRT}{V}, com n em mols). O recipiente tem volume fixo ( V constante) e é termicamente isolante (temperatura do gás interno não troca calor com a sala; durante o processo curto assumimos T aproximadamente constante).
  • Se o número total de partículas dentro diminui (mais átomos saem do que moléculas entram), o produto N k T diminui e, portanto, p diminui.

    Como mostramos em (d), mais átomos de hélio saem do que moléculas de ar entram, logo a quantidade total de partículas dentro diminui ligeiramente durante os 5\\ \mathrm{s}. Portanto a pressão no interior diminui ligeiramente.

    Comentário físico rápido: a diferença é pequena (fração do total) porque o orifício é muito pequeno; por isso a queda de pressão é pequena, mas é uma diminuição, não um aumento nem estabilidade perfeita.

Resposta

(a) p\approx 1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
(b) \sqrt{\langle v^{2}\rangle}=v_{\mathrm{rms}}\approx 1{,}305\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
(c) N_{\text{esc}}\approx 4{,}04\times10^{20} átomos de hélio (em 5\\ \mathrm{s}).
(d) O número de átomos de hélio que escapam é maior; sai cerca de 2{,}69 vezes mais átomos de hélio do que moléculas de ar entram.
(e) A pressão interior diminui ligeiramente durante esses 5\\ \mathrm{s} (mais partículas saem do que entram, com V e T aproximadamente constantes).

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