(**) Um recipiente rígido e termicamente isolante com um volume de 22,4 litros é preenchido com um mol de gás hélio ( 4 g por mol) a uma temperatura de
( 273
. O recipiente situa-se em uma sala, cercado por ar nas CNTP.
(a) Calcule a pressão no interior do recipiente
.
(b) Calcule a raiz quadrada da velocidade quadrática média dos átomos de hélio.
(c) Agora abra um pequeno orifício quadrado no recipiente, com área
(o orifício tem
de lado). Após 5 s , quantos átomos de hélio deixaram o recipiente?
(d) Moléculas de ar da sala penetram o recipiente através do orifício durante esses 5 s. O que é maior: o número de moléculas de ar que penetram o recipiente ou o número de átomos de hélio que escapam dele? Explique sucintamente.
(e) A pressão no interior do recipiente aumenta ligeiramente, permanece a mesma ou diminui ligeiramente durante esses 5 s? Explique sucintamente.
(a) Calcule a pressão no interior do recipiente
(b) Calcule a raiz quadrada da velocidade quadrática média dos átomos de hélio.
(c) Agora abra um pequeno orifício quadrado no recipiente, com área
(d) Moléculas de ar da sala penetram o recipiente através do orifício durante esses 5 s. O que é maior: o número de moléculas de ar que penetram o recipiente ou o número de átomos de hélio que escapam dele? Explique sucintamente.
(e) A pressão no interior do recipiente aumenta ligeiramente, permanece a mesma ou diminui ligeiramente durante esses 5 s? Explique sucintamente.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (resumidos passo a passo, com tudo que vamos usar):
- Volume do recipiente:
litros . - Quantidade de gás hélio:
mol (massa molar do hélio ). - Temperatura inicial:
. - O recipiente é rígido e termicamente isolante; está numa sala com ar às CNTP (pressão externa
, ). - Orifício: área
(lado ). - Tempo considerado para o orifício aberto:
.
Perguntas pedidas:
(a) Calcular a pressão no interior do recipiente em.
(b) Calcular a raiz quadrada da velocidade quadrática média (ou seja, a velocidade quadrática média) dos átomos de hélio.
(c) Após, quantos átomos de hélio deixaram o recipiente através do orifício?
(d) Comparar: o número de moléculas de ar que penetram o recipiente durante essesé maior ou menor que o número de átomos de hélio que escapam? Justificar sucintamente.
(e) Durante esses, a pressão no interior aumenta ligeiramente, permanece a mesma ou diminui ligeiramente? Justifique sucintamente.
Observação: todos os cálculos usam o gás ideal e a teoria cinética molecular; sempre informarei o significado das fórmulas/variáveis quando usadas.
Passo 2
(a) Cálculo da pressão usando a lei dos gases ideais.
Fórmula da gás ideal (vou explicar cada símbolo):
Fórmula da gás ideal (vou explicar cada símbolo):
onde
é a pressão (em
),
é o volume (em
),
é o número de mols,
é a constante universal dos gases
e
é a temperatura absoluta (em
).
Isolando :
Isolando
Substituo os valores:
,
,
,
.
Cálculo numérico (faço em passos pequenos para você ver como calcular sem calculadora grosa):
Cálculo numérico (faço em passos pequenos para você ver como calcular sem calculadora grosa):
-
(unidade ). -
. -
.
Então
Comentário didático curto: esse resultado é justamente a pressão atmosférica padrão (CNTP) — faz sentido porque um mol de gás ideal ocupa
Passo 3
(b) Cálculo da velocidade quadrática média (velocidade RMS, root-mean-square).
Na teoria cinética, a velocidade quadrática média é dada por
Na teoria cinética, a velocidade quadrática média é dada por
Aqui
é a constante de Boltzmann e
é a massa de uma única partícula. Mas como trabalhamos com mols é mais prático usar a forma com
e massa molar
(massa por mol):
onde
está em
.
Definições:
Definições:
-
, -
, -
.
Faço por partes:
- Calculo do numerador:
. - Divido por
: .
Agora a raiz quadrada:
Comentário didático: essa velocidade é alta (cerca de
Passo 4
Explicação da fórmula de fluxo/efusão que usaremos em (c).
- Em teoria cinética, a flux (número de partículas que atravessam uma unidade de área por unidade de tempo vindo de um lado) é
onde:
-
é a densidade numérica (número de partículas por volume), -
é a velocidade média (magnitude média das velocidades), não a RMS.
- Justificativa simples e intuitiva: as moléculas se movem em todas as direções; aproximadamente metade vai em direção ao orifício e, dentre as direções, um fator geométrico
aparece ao fazer a média angular. (Isso é o resultado clássico da teoria cinética.)
- Relação entre
e :
e a razão
.
Vou calcular usando a relação com
.
Vou calcular
Passo 5
Cálculo da densidade numérica
(número de partículas por volume) dentro do recipiente.
- Número total de átomos inicialmente:
, onde .
- Densidade numérica:
Faço a divisão:
Comentário prático: esse valor é típico da densidade numérica de um gás a 1 atm — muitos átomos por metro cúbico.
Passo 6
(c) Cálculo da velocidade média
do hélio e da taxa de escape (número de átomos que saem por segundo).
Velocidade média:
Velocidade média:
Substituo
,
,
.
Cálculos parciais:
Cálculos parciais:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Razão:
.
Raiz:
(Observação:
é cerca de
vezes
, consistente com o passo anterior.)
Agora a fluxo de saída por unidade de área:
Agora a fluxo de saída por unidade de área:
Substituo
e
:
- Produto
. - Divide por
: .
Taxa de átomos escapando pelo orifício (área):
Número de átomos que saem em
Arredondando com número de algarismos significativos razoável:
Passo 7
(d) Comparação com o número de moléculas de ar que penetram: raciocínio e cálculo aproximado.
Raciocínio: imediatamente após abrir, a pressão e a temperatura fora e dentro são praticamente iguais. Então a densidade numérica do ar fora é aproximadamente igual à densidade numérica do hélio dentro ( ). A diferença estará nas velocidades médias: o ar tem massa molar média
, bem maior que a do hélio
. Como
, as moléculas de ar movem-se mais lentamente.
Razão entre fluxos (mesma , mesma área):
Raciocínio: imediatamente após abrir, a pressão e a temperatura fora e dentro são praticamente iguais. Então a densidade numérica do ar fora é aproximadamente igual à densidade numérica do hélio dentro (
Razão entre fluxos (mesma
Substituindo
:
Portanto, por unidade de tempo e área, saem cerca de
Podemos fazer o cálculo numérico do número de moléculas de ar que entram (cheque rápido):
- Velocidade média do ar
- Fluxo de entrada
- Taxa entrando pela área
: . Em : moléculas de ar.
Comparando com: as moléculas de ar que entram ( pelo cálculo anterior refinado ou dependendo de arredondamentos) são bem menores que os átomos de hélio que escapam. Conclusão limpa: mais átomos de hélio escapam do que moléculas de ar entram (fator cerca de ).
Passo 8
(e) Efeito sobre a pressão interior durante os
.
- Pressão de um gás ideal é
(ou , com em mols). O recipiente tem volume fixo ( constante) e é termicamente isolante (temperatura do gás interno não troca calor com a sala; durante o processo curto assumimos aproximadamente constante). - Se o número total de partículas dentro diminui (mais átomos saem do que moléculas entram), o produto
diminui e, portanto, diminui.
Como mostramos em (d), mais átomos de hélio saem do que moléculas de ar entram, logo a quantidade total de partículas dentro diminui ligeiramente durante os. Portanto a pressão no interior diminui ligeiramente.
Comentário físico rápido: a diferença é pequena (fração do total) porque o orifício é muito pequeno; por isso a queda de pressão é pequena, mas é uma diminuição, não um aumento nem estabilidade perfeita.
Resposta
(a)
(b)
(c) átomos de hélio (em
).
(d) O número de átomos de hélio que escapam é maior; sai cerca de vezes mais átomos de hélio do que moléculas de ar entram.
(e) A pressão interior diminui ligeiramente durante esses (mais partículas saem do que entram, com
e
aproximadamente constantes).
(b)
(c)
(d) O número de átomos de hélio que escapam é maior; sai cerca de
(e) A pressão interior diminui ligeiramente durante esses