(*) Uma máquina térmica real (irreversível) opera entre os mesmos reservatórios da questão anterior, a 800 K e 400 K . Ela absorve 2000 J de calor da fonte quente e realiza 800 J de trabalho. Qual é a variação da entropia do universo para um ciclo desta máquina?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a variação de entropia do universo para um ciclo da máquina térmica:
T_h = 800\\ \mathrm{K},\quad T_c = 400\\ \mathrm{K},
Q_h = 2000\\ \mathrm{J}\\ (\text{calor absorvido da fonte quente}),
W = 800\\ \mathrm{J}\\ (\text{trabalho realizado pela máquina}).á
Pergunta: Qual é a variação da entropia do universo \Delta S_{\text{universo}} para um ciclo dessa máquina?

Passo 2

Primeiro usamos a conservação de energia (Primeira Lei) para um ciclo. Numa máquina em ciclo, a energia interna volta ao valor inicial, logo a variação de energia interna \Delta U = 0. A energia recebida como calor da fonte quente sai em parte como trabalho e em parte como calor rejeitado para o reservatório frio. Isso dá a relação
Q_h = W + Q_c,
onde Q_c é o calor rejeitado para o reservatório frio. Essa relação é apenas balanço de energia: tudo que entra como calor ou sai como trabalho deve se equilibrar num ciclo.

Passo 3

Isolamos Q_c e calculamos numericamente:
Q_c = Q_h - W.
Substituindo os valores dados:
Q_c = 2000\\ \mathrm{J} - 800\\ \mathrm{J} = 1200\\ \mathrm{J}.
Portanto a máquina rejeita Q_c = 1200\\ \mathrm{J} ao reservatório frio.

Passo 4

Agora vamos calcular as variações de entropia dos dois reservatórios e somá-las. Lembre que a variação de entropia de um reservatório grande, que troca uma quantidade de calor Q à temperatura constante T, é dada por
\Delta S = \frac{Q}{T}.
Aqui é importante o sinal: se o reservatório perde calor Q (isto é, o sistema recebe calor), o Q do reservatório é negativo e \Delta S_{\text{reservatório}} = -Q_h/T_hó. Se o reservatório ganha calor Q_c, então \Delta S_{\text{reservatório frio}} = Q_c/T_có. A máquina em ciclo tem variação de entropia zero (ela volta ao estado inicial), portanto a variação do universo é só a soma das variações dos reservatórios.

Passo 5

Calculemos a variação de entropia do reservatório quente (ele perde Q_h):
\Delta S_h = -\frac{Q_h}{T_h} = -\frac{2000\\ \mathrm{J}}{800\\ \mathrm{K}}.
Fazendo a conta:
\frac{2000}{800} = 2{,}5,
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\Delta S_h = -2{,}5\\ \mathrm{J/K}.

Passo 6

Calculemos a variação de entropia do reservatório frio (ele ganha Q_c):
\Delta S_c = \frac{Q_c}{T_c} = \frac{1200\\ \mathrm{J}}{400\\ \mathrm{K}}.
Fazendo a conta:
\frac{1200}{400} = 3,
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\Delta S_c = 3{,}0\\ \mathrm{J/K}.

Passo 7

A variação total de entropia do universo é a soma das duas:
\Delta S_{\text{universo}} = \Delta S_h + \Delta S_c = -2{,}5\\ \mathrm{J/K} + 3{,}0\\ \mathrm{J/K} = 0{,}5\\ \mathrm{J/K}.
Interpretação curta: \Delta S_{\text{universo}}>0 confirma que a máquina é irreversível (um motor irreversível aumenta a entropia do universo). Se fosse reversível (Carnot ideal) teríamos \Delta S_{\text{universo}}=0.

Resposta

0{,}5\\ \mathrm{J/K}

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