O refrigerante Dabio Otto afirma que em sua latinha de Guarana tem menos de 23 g de açúcar. Mas o laboratório Fernando Machado desconfia dessa informação e coleta 6 latas de refrigerantes, obtendo uma média de 24,4 g de açúcar. Sabe-se que na empresa de Dabio Otto, o índice de açúcar se distribui normalmente, com desvio padrão igual a 1,86 g. Pode-se aceitar, no nível de 10 %, a afirmação do fabricante?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. A empresa Dabio Otto afirma que cada latinha de Guaraná contém menos de 23 gramas de açúcar. O laboratório Fernando Machado suspeita dessa afirmação e coletou 6 latas, encontrando uma média de 24,4 gramas de açúcar. Sabemos também que a quantidade de açúcar nas latas segue uma distribuição normal com desvio padrão de 1,86 gramas. Nosso objetivo é verificar, com um nível de significância de 10%, se podemos aceitar a afirmação do fabricante.

Passo 2

Primeiro, precisamos formular as hipóteses para o nosso teste estatístico.
  • Hipótese nula (H₀): A média de açúcar é igual a 23 gramas. (μ = 23 g)
  • Hipótese alternativa (H₁): A média de açúcar é maior que 23 gramas. (μ > 23 g)
Estamos usando um teste unilateral porque queremos verificar se a média é maior que o valor afirmado.

Passo 3

Como a distribuição do açúcar é normal e conhecemos o desvio padrão da população, podemos utilizar o teste z para a média. A fórmula do teste z é:
z = barx - mu0sigmaraizn
Onde:
  • barx é a média da amostra (24,4 g)
  • mu0 é a média segundo a hipótese nula (23 g)
  • sigma é o desvio padrão da população (1,86 g)
  • n é o tamanho da amostra (6)

Passo 4

Vamos calcular o valor do z:
z = 24,4 - 231,86raiz6 = 1,41,862,449 approx 1,40,76 approx 1,84

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico do z para um nível de significância de 10% (0,10) em um teste unilateral à direita. Consultando a tabela de distribuição normal padrão, encontramos que o valor crítico z₀,₀.₁ é aproximadamente 1,28.

Passo 6

Comparamos o valor calculado de z com o valor crítico:
1,84 > 1,28
Como o z calculado é maior que o z crítico, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base no teste realizado, rejeitamos a afirmação do fabricante ao nível de 10%, indicando que há evidências suficientes para acreditar que a média de açúcar nas latas de Guaraná Dabio Otto é maior que 23 gramas.

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