Partindo de uma previsão inicial de p=0,5, calcule a quantidade de elementos que deve compor a amostra para termos uma margem de erro de 2 pontos percentuais, com um nível de confiança de 95 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma previsão inicial de que a proporção $ p = 0,5 $. A gente quer descobrir quantos elementos precisa na nossa amostra para ter uma margem de erro de 2 pontos percentuais, com um nível de confiança de 95%. Isso tudo tá relacionado ao tema de tamanho de amostra na estatística, onde a gente calcula quantos participantes precisa para que nossos resultados sejam confiáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que a gente vai usar para calcular o tamanho da amostra. A fórmula para o tamanho da amostra $ n $ quando estamos trabalhando com proporções é:
n
Aqui:
  • $ Z $ é o valor crítico que corresponde ao nível de confiança que a gente quer.
  • $ p $ é a proporção estimada.
  • $ E $ é a margem de erro.

Passo 3

Agora, precisamos descobrir o valor de $ Z $ para um nível de confiança de 95%. O valor de $ Z $ é baseado na distribuição normal e para 95% de confiança, ele é aproximadamente 1,96. Isso significa que estamos 95% confiantes de que a verdadeira proporção está dentro da nossa margem de erro.

Passo 4

Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
  • $ Z = 1,96 $
  • $ p = 0,5 $
  • $ E = 0,02 $ (porque 2 pontos percentuais é igual a 0,02 em decimal)
Então,
Z = 1,96

Passo 5

Vamos calcular isso passo a passo:
  1. Calcular $ Z^2 $:
Z^2
  1. Calcular $ p \times (1 - p) $:
1,96^2 = 3,8416
  1. Multiplicar $ Z^2 $ por $ p \times (1 - p) $:
p times (1 - p)
  1. Calcular $ E^2 $:
0,5 times 0,5 = 0,25
  1. Dividir o resultado da multiplicação pelo $ E^2 $:
Z^2

Resposta

Então, a quantidade de elementos que deve compor a amostra para ter uma margem de erro de 2 pontos percentuais com um nível de confiança de 95% é 2.401.

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