Refute (prove que é falsa) cada uma das conjecturas abaixo usando algum contraexemplo:
Se a|bc, então a|b ou a|c.

Passo 1

O enunciado pede para refutar (mostrar falsa) a conjectura: "Se \;a\mid bc\; então \;a\mid b ou \;a\mid c".
Informações relevantes dadas (implícitas no problema): a, b, c são inteiros; o símbolo \mid significa “divide”, ou seja, a\mid d quer dizer que existe um inteiro k tal que d=ak. A tarefa é apresentar um contraexemplo que torne a conjectura falsa.

Passo 2

Definição e ideia-chave que vamos usar (explicando devagar):
Definição de divisibilidade: dizer que \;a\mid d\; significa que existe um inteiro k tal que \;d = a\cdot k. Por exemplo, 6\mid 12 porque 12 = 6\cdot 2.
Uma observação útil (intuição): se a é composto (não primo) e se seus fatores primos podem ser “divididos” entre b e c, então é possível que a divida o produto bc sem dividir nenhum dos dois fatores isoladamente. Essa ideia é o caminho para construir um contraexemplo.

Passo 3

Construção do contraexemplo (escolha guiada):
Queremos inteiros a,b,c tais que \;a\mid bc\; mas \;a\nmid b e \;a\nmid c. Para isso, escolha um a que seja produto de dois primos distintos, digamos a=p\cdot q. Se escolhermos b=p e c=q, então bc = p\cdot q = a, logo a\mid bc. Mas a não divide b=p (pois p é menor que a) e nem divide c=q. Vamos concretizar com números fáceis de manipular.

Passo 4

Contraexemplo concreto e verificação passo a passo:
Escolha \;a=6, \;b=2, \;c=3. Verificações:
  • bc = 2\cdot 3 = 6. Como 6 = 6\cdot 1, temos \;6\mid (2\cdot 3). Escrito em símbolos: \;6\mid bc.
  • Agora veja se 6 divide 2: não existe inteiro k com 2 = 6k, então \;6\nmid 2. Em símbolos: \;6\nmid b.
  • Veja se 6 divide 3: não existe inteiro k com 3 = 6k, então \;6\nmid 3. Em símbolos: \;6\nmid c.
    Portanto, com esses valores a hipótese \;a\mid bc é verdadeira e a conclusão "ou \;a\mid b ou \;a\mid c" é falsa. Logo a conjectura geral é refutada.

Passo 5

Comentário didático importante (quando a afirmação é verdadeira):
A proposição falha para a compostos, como vimos. Porém existe um resultado verdadeiro e muito usado: se p é primo e p\mid bc, então p\mid b ou p\mid c. Esse é o famoso lema de Euclides. Também existe uma forma mais geral: se \gcd(a,b)=1 e a\mid bc, então a\mid c. Vou mostrar por que essa forma geral é verdadeira, porque é uma ferramenta útil na prova de propriedades de divisibilidade.

Passo 6

Prova do caso útil: se \gcd(a,b)=1 e a\mid bc então a\mid c (prova com identidade de Bézout, passo a passo):
  • Como \gcd(a,b)=1, pela identidade de Bézout existem inteiros x e y tais que \;ax + by = 1. Expliquei: Bézout diz que dois inteiros coprimos geram 1 como combinação inteira.
  • Multiplique essa igualdade por c: \;a(cx) + b(cy) = c.
  • a(cx) é múltiplo de a (claramente), e como assumimos a\mid bc, existe inteiro t tal que bc = at, então b(cy) = a(ty) é também múltiplo de a.
  • Logo a soma a(cx) + b(cy) é múltiplo de a; como essa soma é igual a c, concluímos que c é múltiplo de a. Em símbolos: a\mid c.
    Esta prova mostra por que a condição “a é primo” no lema de Euclides pode ser substituída por “a é coprimo com b” no enunciado ajustado.

Passo 7

Resumo final do raciocínio e incentivo:
  • Achamos um contraexemplo simples ( a=6,b=2,c=3) que mostra que a afirmação "Se \;a\mid bc então \;a\mid b ou \;a\mid c" é falsa em geral.
  • Entretanto, a afirmação é verdadeira em casos importantes (por exemplo, quando a é primo, ou mais geralmente quando \gcd(a,b)=1). Isso explica por que muita gente confunde a versão geral com o lema de Euclides: o passo extra (primalidade ou coprimalidade) é crucial. Força aí — contraexemplos simples como esse são o jeito mais rápido de derrubar uma conjectura numa prova!

Resposta

Contraexemplo: a=6,\; b=2,\; c=3 porque 6\mid(2\cdot3) mas 6\nmid2 e 6\nmid3.

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