Refute (prove que é falsa) cada uma das conjecturas abaixo usando algum contraexemplo:
Se a|bc, então a|b ou a|c.
Se a|bc, então a|b ou a|c.
Passo 1
O enunciado pede para refutar (mostrar falsa) a conjectura: "Se
então
ou
".
Informações relevantes dadas (implícitas no problema): ,
,
são inteiros; o símbolo
significa “divide”, ou seja,
quer dizer que existe um inteiro
tal que
. A tarefa é apresentar um contraexemplo que torne a conjectura falsa.
Informações relevantes dadas (implícitas no problema):
Passo 2
Definição e ideia-chave que vamos usar (explicando devagar):
Definição de divisibilidade: dizer que significa que existe um inteiro
tal que
. Por exemplo,
porque
.
Uma observação útil (intuição): se é composto (não primo) e se seus fatores primos podem ser “divididos” entre
e
, então é possível que
divida o produto
sem dividir nenhum dos dois fatores isoladamente. Essa ideia é o caminho para construir um contraexemplo.
Definição de divisibilidade: dizer que
Uma observação útil (intuição): se
Passo 3
Construção do contraexemplo (escolha guiada):
Queremos inteiros tais que
mas
e
. Para isso, escolha um
que seja produto de dois primos distintos, digamos
. Se escolhermos
e
, então
, logo
. Mas
não divide
(pois
é menor que
) e nem divide
. Vamos concretizar com números fáceis de manipular.
Queremos inteiros
Passo 4
Contraexemplo concreto e verificação passo a passo:
Escolha ,
,
. Verificações:
Escolha
-
. Como , temos . Escrito em símbolos: . - Agora veja se
divide : não existe inteiro com , então . Em símbolos: . - Veja se
divide : não existe inteiro com , então . Em símbolos: .
Portanto, com esses valores a hipóteseé verdadeira e a conclusão "ou ou " é falsa. Logo a conjectura geral é refutada.
Passo 5
Comentário didático importante (quando a afirmação é verdadeira):
A proposição falha para compostos, como vimos. Porém existe um resultado verdadeiro e muito usado: se
é primo e
, então
ou
. Esse é o famoso lema de Euclides. Também existe uma forma mais geral: se
e
, então
. Vou mostrar por que essa forma geral é verdadeira, porque é uma ferramenta útil na prova de propriedades de divisibilidade.
A proposição falha para
Passo 6
Prova do caso útil: se
e
então
(prova com identidade de Bézout, passo a passo):
- Como
, pela identidade de Bézout existem inteiros e tais que . Expliquei: Bézout diz que dois inteiros coprimos geram 1 como combinação inteira. - Multiplique essa igualdade por
: . -
é múltiplo de (claramente), e como assumimos , existe inteiro tal que , então é também múltiplo de . - Logo a soma
é múltiplo de ; como essa soma é igual a , concluímos que é múltiplo de . Em símbolos: .
Esta prova mostra por que a condição “a é primo” no lema de Euclides pode ser substituída por “a é coprimo com b” no enunciado ajustado.
Passo 7
Resumo final do raciocínio e incentivo:
- Achamos um contraexemplo simples (
) que mostra que a afirmação "Se então ou " é falsa em geral. - Entretanto, a afirmação é verdadeira em casos importantes (por exemplo, quando
é primo, ou mais geralmente quando ). Isso explica por que muita gente confunde a versão geral com o lema de Euclides: o passo extra (primalidade ou coprimalidade) é crucial. Força aí — contraexemplos simples como esse são o jeito mais rápido de derrubar uma conjectura numa prova!
Resposta
Contraexemplo:
porque
mas
e
.