Refute (prove que é falsa) cada uma das conjecturas abaixo usando algum contraexemplo:
Se a|b, então a
b.
Se a|b, então a
Passo 1
O enunciado pede que a gente refute (mostre falsa) a conjectura: "Se
, então
".
Informações dadas que vamos usar: existe a relação de divisibilidade entre inteiros
e
. A tarefa é fornecer um contraexemplo — ou seja, encontrar inteiros
e
tais que
seja verdadeiro e, ao mesmo tempo,
seja falso.
Informações dadas que vamos usar: existe a relação de divisibilidade
Passo 2
Definição (essencial para entender divisibilidade): dizemos que
(lê‑se “a divide b”) quando existe um inteiro
tal que
Aqui
é o divisor,
é o múltiplo e
é o quociente inteiro. Exemplos rápidos para fixar a ideia:
porque
;
porque não existe inteiro
com
.
Passo 3
Estratégia para refutar: procurar um par de inteiros
que satisfaça a definição de
(ou seja,
para algum inteiro
), mas que viole a desigualdade
. Uma observação útil: a definição permite
, então
é um caso especial — qualquer inteiro
divide
, pois
. Isso sugere tentar
e um
.
Passo 4
Escolhemos o contraexemplo explícito
. Verificamos a divisibilidade usando a definição:
portanto existe
tal que
. Logo
é verdadeiro.
Passo 5
Agora verificamos a desigualdade pedida pela conjectura:
é falso. Assim, para
temos
verdadeiro e
falso — exatamente um contraexemplo.
Passo 6
Comentário didático (para não ficar na dúvida): a razão pela qual a conjectura é falsa é justamente por causa do caso
(qualquer
divide
). Entretanto, se restringirmos os inteiros a
e
, a afirmação passa a ser verdadeira. Prova curta dessa versão corrigida: se
,
e
, então existem
com
. Como
e
, temos
, logo
, isto é,
. Portanto a desigualdade só fica garantida quando se exige
(e
).
Passo 7
Conclusão: a conjectura original "Se
, então
" é falsa. O contraexemplo
demonstra isso de maneira simples e direta. Força aí — você já viu onde a armadilha está (o caso
). Continue praticando contraexemplos; são ótimos para aprender!