Refute (prove que é falsa) cada uma das conjecturas abaixo usando algum contraexemplo:
Se a|b, então a \leq b.

Passo 1

O enunciado pede que a gente refute (mostre falsa) a conjectura: "Se a\mid b, então a \le b".
Informações dadas que vamos usar: existe a relação de divisibilidade a\mid b entre inteiros a e b. A tarefa é fornecer um contraexemplo — ou seja, encontrar inteiros a e b tais que a\mid b seja verdadeiro e, ao mesmo tempo, a \le b seja falso.

Passo 2

Definição (essencial para entender divisibilidade): dizemos que a\mid b (lê‑se “a divide b”) quando existe um inteiro k tal que
b = a\cdot k.
Aqui a é o divisor, b é o múltiplo e k é o quociente inteiro. Exemplos rápidos para fixar a ideia: 3\mid 12 porque 12 = 3\cdot 4; 7\nmid 15 porque não existe inteiro k com 15=7k.

Passo 3

Estratégia para refutar: procurar um par de inteiros (a,b) que satisfaça a definição de a\mid b (ou seja, b=ak para algum inteiro k), mas que viole a desigualdade a \le b. Uma observação útil: a definição permite k=0, então b=0 é um caso especial — qualquer inteiro a divide 0, pois 0 = a\cdot 0. Isso sugere tentar b=0 e um a>0.

Passo 4

Escolhemos o contraexemplo explícito (a,b) = (5,0). Verificamos a divisibilidade usando a definição:
0 = 5\cdot 0,
portanto existe k=0\in\mathbb{Z} tal que b = a\cdot k. Logo 5\mid 0 é verdadeiro.

Passo 5

Agora verificamos a desigualdade pedida pela conjectura:
5 \le 0
é falso. Assim, para (a,b)=(5,0) temos a\mid b verdadeiro e a \le b falso — exatamente um contraexemplo.

Passo 6

Comentário didático (para não ficar na dúvida): a razão pela qual a conjectura é falsa é justamente por causa do caso b=0 (qualquer a\neq 0 divide 0). Entretanto, se restringirmos os inteiros a a>0 e b>0, a afirmação passa a ser verdadeira. Prova curta dessa versão corrigida: se a>0, b>0 e a\mid b, então existem k\in\mathbb{Z} com b=ak. Como b>0 e a>0, temos k\ge 1, logo b = ak \ge a, isto é, a\le b. Portanto a desigualdade só fica garantida quando se exige b>0 (e a>0).

Passo 7

Conclusão: a conjectura original "Se a\mid b, então a \le b" é falsa. O contraexemplo (a,b)=(5,0) demonstra isso de maneira simples e direta. Força aí — você já viu onde a armadilha está (o caso b=0). Continue praticando contraexemplos; são ótimos para aprender!

Resposta

a=5,\\ b=0, pois 5\mid 0 (já que 0=5\cdot0) e 5\not\le 0.

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