Refute (prove que é falsa) cada uma das conjecturas abaixo usando algum contraexemplo:
Se a|b e a e b são não-negativos, então \mathrm{a} \leq \mathrm{b}.

Passo 1

O enunciado pede para refutar (mostrar falsa) a conjectura: "Se \;a\mid b\; e \;a e \;b são não-negativos, então \;a \le b".
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
  • Temos a relação de divisibilidade \;a\mid b.
  • As variáveis são não-negativas: \;a\ge 0 e \;b\ge 0.
  • A conjectura afirma que, sob essas hipóteses, sempre ocorre \;a \le b.

Passo 2

Definição útil (aqui eu te ensino o que é divisibilidade): dizer \;a\mid b\; significa, por definição, que existe um inteiro \;k\in\mathbb{Z} tal que
b = a k.
Vou explicar: \;k é chamado de quociente inteiro; por exemplo, \;3\mid 12 porque existe \;k=4 com \;12=3\cdot4. Note que, por essa definição, é permitido \;k=0.

Passo 3

Observação importante para entender onde a conjectura pode falhar: se \;a>0 e \;b>0, então a equação \;b = a k implica que \;k é um inteiro positivo (porque produto de dois inteiros positivos é positivo), logo \;k\ge 1 e assim
b = a k \ge a\cdot 1 = a,
ou seja, nesse caso realmente \;a\le b. Então a implicação da conjectura é verdadeira quando ambos são positivos. Portanto, se a conjectura for falsa, a culpa vem de casos especiais permitidos pela hipótese “não-negativos” — por exemplo quando algum deles é zero.

Passo 4

Vamos explorar o caso \;b=0. Pela definição, para qualquer \;a\in\mathbb{Z} vale
0 = a\cdot 0,
logo \;a\mid 0 é verdadeiro para qualquer \;a (inclusive para \;a>0). Assim é fácil construir um contraexemplo com \;b=0 e \;a>0: teremos \;a\mid b mas \;a\nleq b.

Passo 5

Contraexemplo explícito e verificação passo a passo (vou escolher números simples): tome \;a=5 e \;b=0. Verificações:
  • \;a e \;b são não-negativos, pois \;5\ge 0 e \;0\ge 0.
  • \;5\mid 0 porque existe o inteiro \;k=0 tal que \;0 = 5\cdot 0.
  • Contudo, \;5 \le 0 é falso (na verdade \;5>0). Logo a afirmação "então \;a\le b" falha para esse par (a,b).

Passo 6

Conclusão e correção da conjectura: a conjectura original é falsa — o contraexemplo \;(a,b)=(5,0) prova isso. Se quisermos uma versão verdadeira, basta reforçar que \;b>0 (ou que ambos sejam estritamente positivos). Por exemplo, a afirmação
\text{Se } a\mid b \text{ e } a>0,\; b>0,\text{ então } a\le bã
é verdadeira, e a prova é exatamente o raciocínio do Passo 3: b=ak com inteiro k\ge1 implica b\ge a.

Resposta

Contraexemplo: \;a=5,\; b=0 (pois \;5\mid 0 e \;5\nleq 0).

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