Refute (prove que é falsa) cada uma das conjecturas abaixo usando algum contraexemplo:
Se a|b e a e b são não-negativos, então
.
Se a|b e a e b são não-negativos, então
Passo 1
O enunciado pede para refutar (mostrar falsa) a conjectura: "Se
e
e
são não-negativos, então
".
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
- Temos a relação de divisibilidade
. - As variáveis são não-negativas:
e . - A conjectura afirma que, sob essas hipóteses, sempre ocorre
.
Passo 2
Definição útil (aqui eu te ensino o que é divisibilidade): dizer
significa, por definição, que existe um inteiro
tal que
Vou explicar:
é chamado de quociente inteiro; por exemplo,
porque existe
com
. Note que, por essa definição, é permitido
.
Passo 3
Observação importante para entender onde a conjectura pode falhar: se
e
, então a equação
implica que
é um inteiro positivo (porque produto de dois inteiros positivos é positivo), logo
e assim
ou seja, nesse caso realmente
. Então a implicação da conjectura é verdadeira quando ambos são positivos. Portanto, se a conjectura for falsa, a culpa vem de casos especiais permitidos pela hipótese “não-negativos” — por exemplo quando algum deles é zero.
Passo 4
Vamos explorar o caso
. Pela definição, para qualquer
vale
logo
é verdadeiro para qualquer
(inclusive para
). Assim é fácil construir um contraexemplo com
e
: teremos
mas
.
Passo 5
Contraexemplo explícito e verificação passo a passo (vou escolher números simples): tome
e
. Verificações:
-
e são não-negativos, pois e . -
porque existe o inteiro tal que . - Contudo,
é falso (na verdade ). Logo a afirmação "então " falha para esse par .
Passo 6
Conclusão e correção da conjectura: a conjectura original é falsa — o contraexemplo
prova isso. Se quisermos uma versão verdadeira, basta reforçar que
(ou que ambos sejam estritamente positivos). Por exemplo, a afirmação
é verdadeira, e a prova é exatamente o raciocínio do Passo 3:
com inteiro
implica
.
Resposta
Contraexemplo:
(pois
e
).