Uma região circular de raio R no plano x y é atravessada por um canpo magnético uniforme orientado no sentido positivo do eixo z. O módulo B do campo (em teslas) aumenta com o tempo t (em segundos) de acordo com a equação B=k t, em que k é uma constante.
Determine o modulo do campo elétrico para qualquer ponto r, em função de r e a constante k. .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos:
O enunciado conta que existe um campo magnético B⃗ apontando pra cima (eixo z positivo) dentro de um disco de raio R no plano xy, e esse campo varia com o tempo como
B(t)=k,t,
A gente precisa achar o módulo do campo elétrico induzido E⃗ (em função de r e k) em qualquer ponto que esteja a uma distância r do centro, desde que r<R.
Conteúdo: Lei de Faraday (uma das equações de Maxwell), fluxo magnético, campo elétrico induzido e simetria cilíndrica.

Passo 2

A teoria que usamos é a lei de Faraday:
ointcal C! Ecdot d l ;=;-,ddt!!integralcal S! Bcdot d S,
Explicando:
- O lado esquerdo é a integral de linha do campo elétrico ao longo de um caminho fechado C.
- O lado direito é a taxa de variação do fluxo magnético através de uma superfície S limitada por C.
Quando B varia no tempo, isso “gera” um campo elétrico que circula.

Passo 3

Escolhemos C como um círculo de raio r (com r<R) centrado na origem. Por simetria cilíndrica:
  1. E⃗ induzido é sempre tangencial ao círculo (mesma magnitude em todo o percurso).
  2. Então a integral de linha fica
ointC ! Ecdot d l = E(r),l(2pi rr),

Passo 4

Agora o fluxo magnético Φ_B pelo disco de raio r:
PhiB = integralS Bcdot d S = B(t)times área do disco = (k,t)times (pi r^2), á
Diferenciando em relação ao tempo:
dPhiBdt = ddtl(k,t pi r^2r) = k,pi,r^2,

Passo 5

Plugando na lei de Faraday:
E(r),(2pi r) = -,dPhiBdt = -,k,pi,r^2,
Desse jeito:
E(r) = -,k,pi,r^22pi,r = -,k,r2,
O sinal “−” indica a orientação (sentido de circulação), mas se só queremos o módulo:

Resposta

boxedE(r)=k,r2,,para todo r

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