Em uma região condutora,
(
).
a) Determine J em (5,2,-3).
b) Determine a corrente através de
.
c) Demonstre que
.
a) Determine J em (5,2,-3).
b) Determine a corrente através de
c) Demonstre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver três questões envolvendo campos magnéticos e correntes. A gente vai usar conceitos de Cálculo Vetorial e Eletromagnetismo, especificamente o cálculo do rotacional para encontrar a densidade de corrente $ \mathbf{J} $. Precisamos saber como calcular o rotacional de um campo vetorial e entender a relação entre $ \mathbf{H} $ (campo magnético) e $ \mathbf{J} $ (densidade de corrente).
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte a): Determinar $ \mathbf{J} $ no ponto (5, 2, -3).
A relação entre $ \mathbf{H} $ e $ \mathbf{J} $ é dada por:
Ou seja, a densidade de corrente é o rotacional do campo magnético $ \mathbf{H} $.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de $ \mathbf{H} $. Dado:
O rotacional $ \nabla \times \mathbf{H} $ em coordenadas cartesianas é:
Passo 4
Vamos calcular cada componente separadamente:
- Componente $ \hat{a}_{x} $:
Portanto:
- Componente $ \hat{a}_{y} $:
Portanto:
- Componente $ \hat{a}_{z} $:
Portanto:
Passo 5
Agora, juntamos tudo:
Passo 6
Vamos substituir os valores do ponto (5, 2, -3):
- Componente $ \hat{a}_{x} $:
- Componente $ \hat{a}_{y} $:
- Componente $ \hat{a}_{z} $:
Resposta
A densidade de corrente $ \mathbf{J} $ no ponto (5, 2, -3) é: