Em uma região condutora, H=y z (x^2+y^2) ax-y^2 x z ay+4 x^2 y^2 az ( A / m ).
a) Determine J em (5,2,-3).
b) Determine a corrente através de x=-1, y>0 e z<2.
c) Demonstre que nabla B=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver três questões envolvendo campos magnéticos e correntes. A gente vai usar conceitos de Cálculo Vetorial e Eletromagnetismo, especificamente o cálculo do rotacional para encontrar a densidade de corrente $ \mathbf{J} $. Precisamos saber como calcular o rotacional de um campo vetorial e entender a relação entre $ \mathbf{H} $ (campo magnético) e $ \mathbf{J} $ (densidade de corrente).

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte a): Determinar $ \mathbf{J} $ no ponto (5, 2, -3).
A relação entre $ \mathbf{H} $ e $ \mathbf{J} $ é dada por:
J
Ou seja, a densidade de corrente é o rotacional do campo magnético $ \mathbf{H} $.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de $ \mathbf{H} $. Dado:
H
O rotacional $ \nabla \times \mathbf{H} $ em coordenadas cartesianas é:
H = y z (x^2 + y^2) ax - y^2 x z ay + 4 x^2 y^2 az

Passo 4

Vamos calcular cada componente separadamente:
  1. Componente $ \hat{a}_{x} $:
ax
partial Hzpartial y = partialpartial y (4 x^2 y^2) = 8 x^2 y
Portanto:
partial Hypartial z = partialpartial z (-y^2 x z) = -y^2 x
  1. Componente $ \hat{a}_{y} $:
(nabla times H)x = 8 x^2 y - (-y^2 x) = 8 x^2 y + y^2 x = x y (8 x + y)
ay
Portanto:
partial Hxpartial z = partialpartial z (y z (x^2 + y^2)) = y (x^2 + y^2)
  1. Componente $ \hat{a}_{z} $:
partial Hzpartial x = partialpartial x (4 x^2 y^2) = 8 x y^2
(nabla times H)y = y (x^2 + y^2) - 8 x y^2 = y x^2 + y^3 - 8 x y^2
Portanto:
az

Passo 5

Agora, juntamos tudo:
J = nabla times H = [x y (8 x + y)] ax + [y x^2 + y^3 - 8 x y^2] ay + [-z x^2 -4 z y^2] az

Passo 6

Vamos substituir os valores do ponto (5, 2, -3):
x = 5, y = 2, z = -3
  1. Componente $ \hat{a}_{x} $:
ax
  1. Componente $ \hat{a}_{y} $:
5 times 2 times (8 times 5 + 2) = 10 times (40 + 2) = 10 times 42 = 420
  1. Componente $ \hat{a}_{z} $:
ay

Resposta

A densidade de corrente $ \mathbf{J} $ no ponto (5, 2, -3) é:
J

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