A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno de um eixo específico. Ache o volume do sólido resultante.
y=x+x^2, y=x^2-1, x=0 ao redor do eixo y=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno de y=1 a região em x!y limitada por
y = x + x^2, y = x^2 - 1, x = 0
O conteúdo é volume de revolução pelo método de discos/aros (washers), cuja fórmula é
V = pi integralx=a^x=b l[Rexterno(x)^2 - Rinterno(x)^2r] , dx

Passo 2

Precisamos dos limites de integração, dados pelas interseções de y = x + x^2 e y = x^2 - 1. Igualando:
x + x^2 = x^2 - 1
x + 1 = 0 Longrightarrow x = -1
Além disso a região vai até x=0. Logo a = -1 e b = 0.

Passo 3

Em cada xin[-1,0] a região vertical vai de yinf = x^2 - 1 até ysup = x + x^2. Ao girar em torno de y=1:
  • raio externo
Rext(x) = 1 - (x^2 - 1) = 2 - x^2,
pois é a distância de yinf até o eixo y=1.
  • raio interno
Rint(x) = 1 - l(x + x^2r) = 1 - x - x^2,
distância de ysup até o eixo.

Passo 4

O volume é
V = pi integral-1^0 l[(2 - x^2)^2 - l(1 - x - x^2r)^2r] , dx
Expandindo:
(2 - x^2)^2 = 4 - 4x^2 + x^4, (1 - x - x^2)^2 = x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x + 1
Assim o integrando fica
4 - 4x^2 + x^4 - l(x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x + 1r) = -2x^3 - 3x^2 + 2x + 3

Passo 5

Calculamos
integral-1^0 l(-2x^3 - 3x^2 + 2x + 3r) dx = l[-tfrac12 x^4 - x^3 + x^2 + 3xr]-1^0
Em x=0 0. Em x=-1:
-tfrac12(1) -(-1) + 1 -3 = -tfrac12 +1 +1 -3 = -tfrac32
Então
integral-1^0(cdots),dx = 0 - l(-tfrac32r) = tfrac32

Resposta

V = pi cdot tfrac32 = tfrac3pi2

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