Considerando f(x, y)=24-x^2-2 y^2, calcule partial fpartial x(3,2), partial fpartial y(3,2) e interprete geometricamente.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis
f(x,y)=24 - x^2 - 2y^2
e pede as derivadas parciais partial fpartial x(3,2) e partial fpartial y(3,2), além de interpretar geometricamente. Vamos usar a definição de derivada parcial como a inclinação da superfície na direção de cada eixo coordenado.

Passo 2

Para obter partial fpartial x, tratamos y como constante e derivamos em relação a x. Como
f(x,y)=24 - x^2 - 2y^2,
a derivada em relação a x é
partial fpartial x(x,y) = -2x

Passo 3

Agora avaliamos em (x,y)=(3,2):
partial fpartial x(3,2) = -2cdot 3 = -6

Passo 4

Para partial fpartial y, tratamos x como constante e derivamos em relação a y. Da mesma função, temos
partial fpartial y(x,y) = -4y
pois a derivada de -2y^2 em y é -4y.

Passo 5

Avaliando em (3,2):
partial fpartial y(3,2) = -4cdot 2 = -8

Passo 6

Geometricamente, partial fpartial x(3,2)=-6 é a inclinação da superfície no ponto (3,2,f(3,2)) ao mover-se na direção positiva de x. Como é negativo, a superfície desce 6 unidades em z para cada 1 unidade de aumento em x. De modo análogo, partial fpartial y(3,2)=-8 indica que, ao mover-se na direção positiva de y, a superfície desce 8 unidades em z para cada 1 unidade de aumento em y.

Resposta

partial fpartial x(3,2)=-6,
partial fpartial y(3,2)=-8 Geometricamente, esses valores são as inclinações da superfície nas direções dos eixos x e y, mostrando que a superfície decresce nesses sentidos.

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