A região z >= a x+b y é um dielétrico 1 com permissividade relativa varepsilonr 1=5, enquanto a região z <= a x+b y é um dielétrico 2 com permissividade relativa varepsilonr 2=3. Considerando que na região 1 exista um campo uniforme dado barE1=10 barax-15 baray+30 baraz(V / m), determine: (a) O ângulo que barE1 faz com a interface entre os dielétricos. Dados: a=2 e b=3.

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas regiões dielétricas separadas por uma interface definida pela equação $ z = a x + b y $, onde $ a = 2 $ e $ b = 3 $. A região onde $ z \geq 2x + 3y $ é o dielétrico 1 com permissividade relativa $ \varepsilon_{r1} = 5 $, e a região onde $ z \leq 2x + 3y $ é o dielétrico 2 com permissividade relativa $ \varepsilon_{r2} = 3 $.
Na região 1, existe um campo elétrico uniforme dado por:
z = a x + b y
O que precisamos encontrar é o ângulo que esse campo elétrico $ \vec{E}_1 $ faz com a interface entre os dielétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria da interface. A equação da interface é $ z = 2x + 3y $. Podemos reescrever essa equação na forma vetorial para identificar o vetor normal à superfície (a direção perpendicular à interface).
A equação geral de um plano é $ Ax + By + Cz + D = 0 $. Comparando com nossa equação:
z = 2x + 3y
Então, o vetor normal $ \vec{n} $ à interface é:
Ax + By + Cz + D = 0

Passo 3

Agora, para encontrar o ângulo entre o campo elétrico $ \vec{E}_1 $ e a interface, na verdade, precisamos encontrar o ângulo entre $ \vec{E}_1 $ e o vetor normal $ \vec{n} $. Isso porque o ângulo entre $ \vec{E}_1 $ e a superfície é complementar ao ângulo entre $ \vec{E}_1 $ e o vetor normal.
Mas pela formulação da questão, vamos supor que queremos o ângulo entre $ \vec{E}_1 $ e o vetor normal.
Para encontrar o ângulo $ \theta $ entre dois vetores, usamos o produto escalar:
E1
Rearranjando para encontrar $ \theta $:
E1

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar $ \vec{E}_1 \cdot \vec{n} $:
E1 cdot n
E1 = 10,ax - 15,ay + 30,az
Então:
n = 2,ax + 3,ay - 1,az

Passo 5

Agora, vamos calcular as magnitudes de $ \vec{E}_1 $ e $ \vec{n} $:
E1
n

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula do ângulo:
theta = cos^-1( -5535 times 3,7417 ) = cos^-1( -55130,958 ) approx cos^-1(-0,420) approx 115°

Resposta

O ângulo que o campo elétrico $ \vec{E}_1 $ faz com a interface entre os dielétricos é aproximadamente 115 graus.

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