A região
é um dielétrico 1 com permissividade relativa
, enquanto a região
é um dielétrico 2 com permissividade relativa
. Considerando que na região 1 exista um campo uniforme dado
, determine: (a) O ângulo que
faz com a interface entre os dielétricos. Dados:
e
.
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas regiões dielétricas separadas por uma interface definida pela equação $ z = a x + b y $, onde $ a = 2 $ e $ b = 3 $. A região onde $ z \geq 2x + 3y $ é o dielétrico 1 com permissividade relativa $ \varepsilon_{r1} = 5 $, e a região onde $ z \leq 2x + 3y $ é o dielétrico 2 com permissividade relativa $ \varepsilon_{r2} = 3 $.
Na região 1, existe um campo elétrico uniforme dado por:
O que precisamos encontrar é o ângulo que esse campo elétrico $ \vec{E}_1 $ faz com a interface entre os dielétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a geometria da interface. A equação da interface é $ z = 2x + 3y $. Podemos reescrever essa equação na forma vetorial para identificar o vetor normal à superfície (a direção perpendicular à interface).
A equação geral de um plano é $ Ax + By + Cz + D = 0 $. Comparando com nossa equação:
Então, o vetor normal $ \vec{n} $ à interface é:
Passo 3
Agora, para encontrar o ângulo entre o campo elétrico $ \vec{E}_1 $ e a interface, na verdade, precisamos encontrar o ângulo entre $ \vec{E}_1 $ e o vetor normal $ \vec{n} $. Isso porque o ângulo entre $ \vec{E}_1 $ e a superfície é complementar ao ângulo entre $ \vec{E}_1 $ e o vetor normal.
Mas pela formulação da questão, vamos supor que queremos o ângulo entre $ \vec{E}_1 $ e o vetor normal.
Para encontrar o ângulo $ \theta $ entre dois vetores, usamos o produto escalar:
Rearranjando para encontrar $ \theta $:
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar $ \vec{E}_1 \cdot \vec{n} $:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular as magnitudes de $ \vec{E}_1 $ e $ \vec{n} $:
Passo 6
Agora, substituímos os valores na fórmula do ângulo:
Resposta
O ângulo que o campo elétrico $ \vec{E}_1 $ faz com a interface entre os dielétricos é aproximadamente 115 graus.