Dentro do volume definido por existe a densidade de corrente . Determine: (a) O fluxo de corrente que sai do volume pela superficie , (b) a corrente total que sai de . (2,5pto).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema de fluxo de corrente elétrica dentro de um volume cúbico definido por , , e metros. A densidade de corrente é dada por (em mA/m²). Precisamos descobrir duas coisas:
O fluxo de corrente que sai pela superfície metros.
A corrente total que sai de todo o volume .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de integrais de superfície e teorema de Gauss. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o fluxo de corrente que sai pela superfície metros. O fluxo de corrente através de uma superfície é basicamente a quantidade de corrente que atravessa essa superfície. Matemáticamente, isso é dado por:
Aqui, é a densidade de corrente, é o vetor normal à superfície , e é um elemento de área da superfície.
No nosso caso, a superfície tem um vetor normal na direção positiva de , ou seja, .
Passo 3
Vamos identificar a componente de que contribui para o fluxo através de . Como o vetor normal é , apenas a componente vai contribuir para o fluxo. Temos:
Na superfície , substituímos por 1:
Passo 4
Agora, vamos calcular o fluxo integrando sobre toda a área da superfície . A área dessa superfície é um quadrado de lado 1 metro, então os limites de integração para e vão de 0 a 1.
Passo 5
Vamos resolver essa integral dupla. Primeiro integramos em relação a :
Agora, integramos o resultado em relação a y:
integral0^1 2 , dy = 2y |0^1 = 2(1) - 2(0) = 2
Então, o fluxo de corrente através da superfície z = 1 é 2 mA.
Passo 6
Agora, vamos calcular a corrente total que sai de todo o volume V. Para isso, vamos usar o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência), que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo vectorial dentro do volume.
O Teorema de Gauss é dado por:
Phitotal = integral triplaV (nabla cdot J) , dV
Primeiro, precisamos calcular a divergência de J:
nabla cdot J = partial Jxpartial x + partial Jypartial y + partial Jzpartial z
Passo 7
Vamos calcular cada derivada:
partial Jxpartial x = partialpartial x(4x^2) = 8x
partial Jypartial y = partialpartial y(7yz) = 7z
partial Jzpartial z = partialpartial z(2z) = 2
Então,
nabla cdot J = 8x + 7z + 2
Passo 8
Agora, vamos integrar essa divergência sobre todo o volume V: