Dentro do volume definido por V=0 <= x <= 1,0 <= y <= 1,0 <= z <= 1 existe a densidade de corrente barJ=4 x^2 barax+7 y z baray+2 z bara,(mA / m^2). Determine: (a) O fluxo de corrente que sai do volume V pela superficie z=1 m, (b) a corrente total que sai de V. (2,5pto).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema de fluxo de corrente elétrica dentro de um volume cúbico definido por 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, e 0 <= z <= 1 metros. A densidade de corrente é dada por J = 4x^2 ax + 7yz ay + 2z az (em mA/m²). Precisamos descobrir duas coisas:
  1. O fluxo de corrente que sai pela superfície z = 1 metros.
  2. A corrente total que sai de todo o volume V.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de integrais de superfície e teorema de Gauss. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o fluxo de corrente que sai pela superfície z = 1 metros. O fluxo de corrente através de uma superfície é basicamente a quantidade de corrente que atravessa essa superfície. Matemáticamente, isso é dado por:
Phi = integral duplaS J cdot n , dS
Aqui, J é a densidade de corrente, n é o vetor normal à superfície S, e dS é um elemento de área da superfície.
No nosso caso, a superfície z = 1 tem um vetor normal na direção positiva de z, ou seja, n = az.

Passo 3

Vamos identificar a componente de J que contribui para o fluxo através de z = 1. Como o vetor normal é az, apenas a componente Jz vai contribuir para o fluxo. Temos:
Jz = 2z
Na superfície z = 1, substituímos z por 1:
Jz = 2(1) = 2 , mA/m^2

Passo 4

Agora, vamos calcular o fluxo Phi integrando Jz sobre toda a área da superfície z = 1. A área dessa superfície é um quadrado de lado 1 metro, então os limites de integração para x e y vão de 0 a 1.
Phi = integral0^1 integral0^1 Jz , dx , dy = integral0^1 integral0^1 2 , dx , dy

Passo 5

Vamos resolver essa integral dupla. Primeiro integramos em relação a x:
integral0^1 2 , dx = 2x |0^1 = 2(1) - 2(0) = 2
Agora, integramos o resultado em relação a y:
integral0^1 2 , dy = 2y |0^1 = 2(1) - 2(0) = 2
Então, o fluxo de corrente através da superfície z = 1 é 2 mA.

Passo 6

Agora, vamos calcular a corrente total que sai de todo o volume V. Para isso, vamos usar o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência), que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo vectorial dentro do volume.
O Teorema de Gauss é dado por:
Phitotal = integral triplaV (nabla cdot J) , dV
Primeiro, precisamos calcular a divergência de J:
nabla cdot J = partial Jxpartial x + partial Jypartial y + partial Jzpartial z

Passo 7

Vamos calcular cada derivada:
  1. partial Jxpartial x = partialpartial x(4x^2) = 8x
  2. partial Jypartial y = partialpartial y(7yz) = 7z
  3. partial Jzpartial z = partialpartial z(2z) = 2
Então,
nabla cdot J = 8x + 7z + 2

Passo 8

Agora, vamos integrar essa divergência sobre todo o volume V:
Phitotal = integral0^1 integral0^1 integral0^1 (8x + 7z + 2) , dx , dy , dz
Primeiro, integramos em relação a x:
integral0^1 (8x + 7z + 2) , dx = 4x^2 + 7zx + 2x |0^1 = 4(1) + 7z(1) + 2(1) = 4 + 7z + 2 = 6 + 7z

Passo 9

Agora, integramos o resultado em relação a y. Como a expressão não depende de y, a integral é simplesmente multiplicada por 1:
integral0^1 (6 + 7z) , dy = (6 + 7z) cdot y |0^1 = (6 + 7z)(1) - (6 + 7z)(0) = 6 + 7z
Por fim, integramos em relação a z:
integral0^1 (6 + 7z) , dz = 6z + 72z^2 |0^1 = 6(1) + 72(1)^2 = 6 + 3.5 = 9.5

Resposta

(a) O fluxo de corrente que sai pela superfície z = 1 metros é 2 mA.
(b) A corrente total que sai do volume V é 9,5 mA.

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