A região
é um dielétrico 1 com permissividade relativa
enquanto a região
é um dielétrico 2 com permissividade relativa
,1. Considerando que na região 1 exista um campo uniforme dado
, determine: O ângulo que
faz com a interface entre os dielétricos. Dados:
e
. (2,5pto)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas regiões dielétricas separadas por uma interface definida pela equação $ z \geq a x + b y $ e $ z \leq a x + b y $. A região 1 tem uma permissividade relativa $ \varepsilon_{r1} = 3,6 $ e possui um campo elétrico uniforme $ \vec{E}_1 = 8,\hat{a}_x - 11,\hat{a}_y + 15,\hat{a}z $ V/m. A região 2 tem $ \varepsilon{r2} = 3,1 $. Queremos descobrir o ângulo que o campo elétrico $ \vec{E}_1 $ faz com a interface entre as duas regiões. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e geometria espacial, além de entender como calcular o ângulo entre um vetor e um plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a equação da interface para entender sua orientação no espaço. A equação dada é $ z = a x + b y $, onde $ a = 2 $ e $ b = 3 $. Essa é a equação de um plano no espaço tridimensional. Para encontrar a normal a esse plano, olhamos para os coeficientes de $ x $, $ y $ e $ z $ na equação geral do plano $ Ax + By + Cz + D = 0 $. Aqui, temos $ A = -a $, $ B = -b $ e $ C = 1 $, então a normal ao plano é $ \vec{n} = (-a, -b, 1) $.
Substituindo $ a = 2 $ e $ b = 3 $, temos $ \vec{n} = (-2, -3, 1) $.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o ângulo entre o campo elétrico $ \vec{E}_1 $ e a interface. Mas como nossa normal $ \vec{n} $ é perpendicular à interface, o ângulo entre $ \vec{E}_1 $ e a interface será complementar ao ângulo entre $ \vec{E}_1 $ e $ \vec{n} $.
Portanto, primeiro vamos calcular o ângulo $ \theta $ entre $ \vec{E}_1 = (8, -11, 15) $ e $ \vec{n} = (-2, -3, 1) $ usando a fórmula do produto escalar:
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar $ \vec{E}_1 \cdot \vec{n} $:
Agora, calculamos as magnitudes dos vetores:
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno:
Para encontrar o ângulo $ \theta $, usamos a função arco cosseno:
Passo 6
Como o ângulo entre $ \vec{E}_1 $ e a normal $ \vec{n} $ é aproximadamente 65°, o ângulo entre $ \vec{E}_1 $ e a interface será complementar:
Resposta
O campo elétrico $ \vec{E}_1 $ faz um ângulo de aproximadamente 25 graus com a interface entre os dielétricos.