A região z >= a x+b y é um dielétrico 1 com permissividade relativa varepsilonr 1=3,6 enquanto a região z <= a x+b y é um dielétrico 2 com permissividade relativa varepsilonr 2=3,1. Considerando que na região 1 exista um campo uniforme dado barE1=8 barax-11 baray+15 baraz(V / m), determine: O ângulo que barE1 faz com a interface entre os dielétricos. Dados: a=2 e b=3. (2,5pto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas regiões dielétricas separadas por uma interface definida pela equação $ z \geq a x + b y $ e $ z \leq a x + b y $. A região 1 tem uma permissividade relativa $ \varepsilon_{r1} = 3,6 $ e possui um campo elétrico uniforme $ \vec{E}_1 = 8,\hat{a}_x - 11,\hat{a}_y + 15,\hat{a}z $ V/m. A região 2 tem $ \varepsilon{r2} = 3,1 $. Queremos descobrir o ângulo que o campo elétrico $ \vec{E}_1 $ faz com a interface entre as duas regiões. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e geometria espacial, além de entender como calcular o ângulo entre um vetor e um plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a equação da interface para entender sua orientação no espaço. A equação dada é $ z = a x + b y $, onde $ a = 2 $ e $ b = 3 $. Essa é a equação de um plano no espaço tridimensional. Para encontrar a normal a esse plano, olhamos para os coeficientes de $ x $, $ y $ e $ z $ na equação geral do plano $ Ax + By + Cz + D = 0 $. Aqui, temos $ A = -a $, $ B = -b $ e $ C = 1 $, então a normal ao plano é $ \vec{n} = (-a, -b, 1) $.
Substituindo $ a = 2 $ e $ b = 3 $, temos $ \vec{n} = (-2, -3, 1) $.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o ângulo entre o campo elétrico $ \vec{E}_1 $ e a interface. Mas como nossa normal $ \vec{n} $ é perpendicular à interface, o ângulo entre $ \vec{E}_1 $ e a interface será complementar ao ângulo entre $ \vec{E}_1 $ e $ \vec{n} $.
Portanto, primeiro vamos calcular o ângulo $ \theta $ entre $ \vec{E}_1 = (8, -11, 15) $ e $ \vec{n} = (-2, -3, 1) $ usando a fórmula do produto escalar:
E1

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar $ \vec{E}_1 \cdot \vec{n} $:
E1 cdot n
Agora, calculamos as magnitudes dos vetores:
E1 cdot n = (8)(-2) + (-11)(-3) + (15)(1) = -16 + 33 + 15 = 32
|E1| = raiz8^2 + (-11)^2 + 15^2 = raiz64 + 121 + 225 = raiz410 approx 20,25, V/m

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno:
costheta = 3220,25 times 3,74 approx 3275,735 approx 0,423
Para encontrar o ângulo $ \theta $, usamos a função arco cosseno:
theta

Passo 6

Como o ângulo entre $ \vec{E}_1 $ e a normal $ \vec{n} $ é aproximadamente 65°, o ângulo entre $ \vec{E}_1 $ e a interface será complementar:
E1

Resposta

O campo elétrico $ \vec{E}_1 $ faz um ângulo de aproximadamente 25 graus com a interface entre os dielétricos.

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