Uma região do espaço contém uma carga positiva Q que é distribuída esfericamente tal que a densidade volumétrica de carga \rho(r) é dada por
\rho(r)=3 a r /(2 R), para r \leq R / 2
\rho(r)=a\left[1-(r / R)^{2}\right], para R / 2 \leq r \leq R
\rho(r)=0, para r \geq R
Aqui a é uma constante positiva tendo unidades de
\mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}. (a) Determine a em termos de Q e R. (b) Usando a lei de Gauss, encontre uma expressão para a magnitude do campo elétrico como uma função de r. Faça isso para as três regiões. Expresse suas respostas em termos da carga total Q. (c) Que fração da carga total está contida dentro da região
R / 2 \leq r \leq R ? (d) Qual é a magnitude de \mathbf{E} em r= \mathrm{R} / 2 ? (e) Se um elétron com carga \mathrm{q}^{\prime}=-\mathrm{e} é solto do repouso em qualquer ponto das três regiões, o movimento resultante será oscilatório, mas não é harmônico simples. Por quê? Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição esfericamente simétrica de carga positiva Q\) dentro de um raio \(R\), com densidade volumétrica \(\rho(r)\) definida por partes: \[\rho(r)=\begin{cases} \dfrac{3a\,r}{2R}, & 0\le r\le R/2,\\[6pt] a\!\left[1-\left(\dfrac{r}{R}\right)^2\right], & R/2\le r\le R,\\[6pt] 0, & r\ge R. \end{cases}
A constante a\] tem unidades de \(\mathrm{C}/\mathrm{m}^3. O enunciado pede:
(a) Determinar a em termos de Q e R.
(b) Usando a lei de Gauss, encontrar a magnitude do campo elétrico |\mathbf{E}| como função de r para as três regiões (r\le R/2,\; R/2\le r\le R,\; r\ge R). Expressar as respostas em termos da carga total Q.
(c) Que fração da carga total está contida na região R/2\le r\le R?
(d) Magnitude de \mathbf{E} em r=R/2.
(e) Se um elétron ( q'=-e) é largado do repouso em qualquer ponto das três regiões, por que o movimento resultante não é movimento harmônico simples? Justifique.
Vou resolver passo a passo, explicando cada integral e cada uso da lei de Gauss.]

Passo 2

(a) Cálculo de a impondo que a carga total integrada sobre todo o volume é Q.
Como a distribuição é esférica, a carga total é
Q=\int_{\text{toda esfera}} \rho(r)\,dV =4\pi\left(\int_{0}^{R/2}\rho_1(r)\,r^{2}dr+\int_{R/2}^{R}\rho_2(r)\,r^{2}dr\right),
onde usei dV=4\pi r^2dr (volume de casca esférica de raio r e espessura dr).
Primeiro termo ( 0\le r\le R/2), com \rho_1(r)=\dfrac{3a r}{2R}:
Q_1=4\pi\int_{0}^{R/2}\frac{3a r}{2R}\,r^{2}dr =4\pi\frac{3a}{2R}\int_{0}^{R/2}r^{3}dr.
Calcule a integral \int_0^{R/2} r^3 dr = \left.\dfrac{r^4}{4}\right|_0^{R/2}=\dfrac{(R/2)^4}{4}=\dfrac{R^4}{64}. Logo
Q_1=4\pi\frac{3a}{2R}\cdot\frac{R^4}{64}=\frac{3\pi a R^3}{32}.
Segundo termo ( R/2\le r\le R), com \rho_2(r)=a\bigl[1-(r/R)^2\bigr]:
Q_2=4\pi a\int_{R/2}^{R}\left(r^{2}-\frac{r^{4}}{R^{2}}\right)dr =4\pi a\left(\left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{R/2}^{R}-\frac{1}{R^{2}}\left.\frac{r^{5}}{5}\right|_{R/2}^{R}\right).
Avalio as diferenças:
\left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{R/2}^{R}=\frac{R^{3}}{3}-\frac{(R/2)^{3}}{3}=\frac{R^{3}}{3}\left(1-\frac{1}{8}\right)=\frac{7R^{3}}{24},
\left.\frac{r^{5}}{5}\right|_{R/2}^{R}=\frac{R^{5}}{5}-\frac{(R/2)^{5}}{5}=\frac{R^{5}}{5}\left(1-\frac{1}{32}\right)=\frac{31R^{5}}{160}.
Assim
Q_2=4\pi a\left(\frac{7R^{3}}{24}-\frac{1}{R^{2}}\cdot\frac{31R^{5}}{160}\right) =4\pi a R^{3}\left(\frac{7}{24}-\frac{31}{160}\right).
Computando a diferença \dfrac{7}{24}-\dfrac{31}{160}=\dfrac{47}{480}, temos
Q_2=4\pi a R^{3}\cdot\frac{47}{480}=\frac{47\pi a R^{3}}{120}.
Agora Q=Q_1+Q_2:
Q=\frac{3\pi a R^{3}}{32}+\frac{47\pi a R^{3}}{120}.
Colocando em denominador comum 480:
Q=\frac{45\pi a R^{3}}{480}+\frac{188\pi a R^{3}}{480}=\frac{233\pi a R^{3}}{480}.
Isolando a:
a=\frac{480\,Q}{233\pi R^{3}}.

Passo 3

Breve revisão (aula curta) da lei de Gauss e simetria esférica (essencial para o item (b)):
  • A lei de Gauss em forma integral diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada S é \displaystyle\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}, onde Q_{\text{int}} é a carga dentro da superfície.
  • Para uma carga distribuída com simetria esférica, o campo elétrico a uma distância r do centro é radial e tem mesma magnitude em todos os pontos de uma esfera de raio r. Então, escolhendo a superfície gaussiana como essa esfera,
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{\varepsilon_{0}},
portanto
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{r^{2}},
onde Q_{\text{enc}}(r) é a carga total contida em raio \le r. Essa fórmula será usada nas três regiões.

Passo 4

Região 1: 0\le r\le R/2.
Calcular Q_{\text{enc}}(r) integrando a densidade até r (usar \rho_1):
Q_{\text{enc}}(r)=4\pi\int_{0}^{r}\frac{3a r'}{2R}\,{r'}^{2}dr' =4\pi\frac{3a}{2R}\int_{0}^{r}{r'}^{3}dr' =4\pi\frac{3a}{2R}\cdot\frac{r^{4}}{4}=\frac{3\pi a r^{4}}{2R}.
Aplicando a fórmula do campo:
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{r^{2}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{3\pi a r^{4}}{2R}\cdot\frac{1}{r^{2}} =\frac{3a r^{2}}{8\varepsilon_0 R}.
Agora substituo a=\dfrac{480Q}{233\pi R^{3}} para escrever em termos de Q:
E(r)=\frac{3}{8\varepsilon_0 R}\cdot a\,r^{2} =\frac{3}{8\varepsilon_0 R}\cdot\frac{480Q}{233\pi R^{3}}\,r^{2} =\frac{180}{233\pi\varepsilon_0}\frac{Q\,r^{2}}{R^{4}}.
Logo, para 0\le r\le R/2,
E(r)=\frac{180}{233\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q\,r^{2}}{R^{4}},\qquad \text{direção radial (para fora).}çã

Passo 5

Região 2: R/2\le r\le R.
Aqui Q_{\text{enc}}(r) é soma da carga total até R/2 (que já é Q_1) mais a carga entre R/2 e r usando \rho_2:
Q_{\text{enc}}(r)=Q_1+4\pi a\int_{R/2}^{r}\left(r'^{2}-\frac{r'^{4}}{R^{2}}\right)dr'.
Já calculamos Q_1=\dfrac{3\pi a R^{3}}{32}. Avaliando a integral variável:
\int_{R/2}^{r}\left(r'^{2}-\frac{r'^{4}}{R^{2}}\right)dr' =\left(\frac{r^{3}}{3}-\frac{r^{5}}{5R^{2}}\right)-\left(\frac{(R/2)^{3}}{3}-\frac{(R/2)^{5}}{5R^{2}}\right).
As constantes resultantes podem ser combinadas; fazendo as contas (mostradas no Passo 2) chega-se convenientemente à forma
Q_{\text{enc}}(r)=4\pi a\left(\frac{r^{3}}{3}-\frac{r^{5}}{5R^{2}}\right)-\frac{23\pi a R^{3}}{480}.
Agora o campo:
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{r^{2}} =\frac{a}{4\varepsilon_0}\left(\frac{4r}{3}-\frac{4r^{3}}{5R^{2}}-\frac{23R^{3}}{480\,r^{2}}\right).
Para escrever em termos de Q fatoro a/\varepsilon_0 e substituo a:
E(r)=\frac{a}{\varepsilon_0}\left(\frac{r}{3}-\frac{r^{3}}{5R^{2}}-\frac{23R^{3}}{1920\,r^{2}}\right) =\frac{480Q}{233\pi\varepsilon_0 R^{3}}\left(\frac{r}{3}-\frac{r^{3}}{5R^{2}}-\frac{23R^{3}}{1920\,r^{2}}\right).
Portanto, para R/2\le r\le R,
E(r)=\frac{480}{233\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{R^{3}}\left(\frac{r}{3}-\frac{r^{3}}{5R^{2}}-\frac{23R^{3}}{1920\,r^{2}}\right),
direção radial (para fora).

Passo 6

Região 3: r\ge R.
Fora da distribuição toda a carga total Q está dentro da superfície gaussiana de raio r, então o campo é o de uma carga pontual Q:
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^{2}},\qquad r\ge R,
direção radial (para fora).

Passo 7

(c) Fração da carga total contida em R/2\le r\le R.
Da Parte (2) temos Q_2=\dfrac{47\pi a R^{3}}{120} e Q=\dfrac{233\pi a R^{3}}{480}. Assim
\frac{Q_2}{Q}=\frac{\dfrac{47}{120}}{\dfrac{233}{480}}=\frac{47}{120}\cdot\frac{480}{233}=\frac{188}{233}\approx 0{,}807.
Ou seja, aproximadamente 80{,}7\% da carga total está na casca R/2\le r\le R.

Passo 8

(d) Magnitude de \mathbf{E} em r=R/2.
Usando a expressão da região interna (válida até r=R/2), temos
E\!\left(\frac{R}{2}\right)=\frac{180}{233\pi\varepsilon_0}\frac{Q\,(R/2)^{2}}{R^{4}} =\frac{180}{233\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{R^{4}}\cdot\frac{R^{2}}{4} =\frac{45}{233\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{R^{2}}.
Logo
E\!\left(\frac{R}{2}\right)=\frac{45}{233\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{R^{2}}.

Passo 9

(e) Por que o movimento do elétron não é harmônico simples?
Condição para movimento harmônico simples (MHS): a força restauradora deve ser proporcional ao deslocamento a partir do equilíbrio, isto é F\propto -x (dependência linear em x). Aqui a força sobre o elétron é F=q' E(r) com q'=-e. Para que o movimento fosse SHM em toda a região interior seria necessário que E(r) fosse proporcional a r (pois então F\propto r). No entanto:
  • Para r\le R/2 encontramos E(r)\propto r^{2} (veja Passo 4), logo F\propto r^{2}, não linear em r.
  • Para R/2\le r\le R a dependência de E(r) é uma combinação de termos em r, r^{3} e 1/r^{2} (veja Passo 5), claramente não linear simples.
  • Fora ( r\ge R) temos E(r)\propto 1/r^{2}, também não proporcional a r.
Portanto a força resultante não é proporcional à posição (exceto em um caso idealizado que não ocorre aqui), logo o movimento não será harmônico simples. (Em particular, próximo do centro, como F\propto r^{2}, a restauração é mais fraca que linear para pequenos r e o período depende da amplitude — característica de um oscilador não linear.)

Resposta

(a) \displaystyle a=\frac{480\,Q}{233\pi R^{3}}.
(b) Para 0\le r\le R/2:
\displaystyle E(r)=\frac{180}{233\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q\,r^{2}}{R^{4}}\quad(\text{radial, para fora}).
Para R/2\le r\le R:
\displaystyle E(r)=\frac{480}{233\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{R^{3}}\left(\frac{r}{3}-\frac{r^{3}}{5R^{2}}-\frac{23R^{3}}{1920\,r^{2}}\right)\quad(\text{radial, para fora}).
Para r\ge R:
\displaystyle E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^{2}}\quad(\text{radial, para fora}).
(c) \displaystyle \frac{Q_{[R/2,R]}}{Q}=\frac{188}{233}\approx 0{,}807.
(d) \displaystyle E\!\left(\frac{R}{2}\right)=\frac{45}{233\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{R^{2}}.
(e) O movimento não é harmônico simples porque a força sobre o elétron é F=q' E(r) e E(r) não é proporcional a r (tem termos \propto r^{2} para r\le R/2 e uma forma não-linear para R/2\le r\le R, e \propto 1/r^{2} fora). Assim F não é linear em r, logo não satisfaz F\propto -r necessária para MHS.

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