8- (S19) Um longo pedaço de fio com massa de 0,100 \mathrm{~kg} e comprimento total de 4,00 \mathrm{~m} é usado para fazer uma bobina quadrada com 0,100 \mathrm{~m} de lado. A bobina é articulada ao longo de um lado horizontal, conduz uma corrente de 3,40 \mathrm{~A} e é colocada em um campo magnético vertical com magnitude de 0,010 \mathrm{~T}.
a) Determine o ângulo que o plano da bobina faz com a vertical quando a bobina está em equilíbrio.
b) Descubra o torque agindo sobre a bobina devido à força magnética no equilíbrio.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) O ângulo que o plano da bobina faz com a vertical quando a bobina está em equilíbrio.
  2. (b) O torque sobre a bobina devido à força magnética no equilíbrio.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\text{massa total do fio: }M=0{,}100\\ \mathrm{kg}
\text{comprimento total do fio: }L_{\text{fio}}=4{,}00\\ \mathrm{m}
\text{lado do quadrado: }a=0{,}100\\ \mathrm{m}
\text{corrente: }I=3{,}40\\ \mathrm{A}
\text{campo magnético (vertical): }B=0{,}010\\ \mathrm{T}é
Observação importante que vamos usar: o fio é usado para fazer uma bobina quadrada; com o comprimento do fio e o perímetro de cada volta dá para determinar o número de voltas da bobina. A bobina é articulada ao longo de um lado horizontal (é o eixo de rotação). Neste passo apenas identifiquei o que é pedido e os dados; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Calcular o número de voltas N da bobina e a área de cada volta.
Perímetro de uma volta quadrada com lado a:
\text{perímetro} = 4a = 4\cdot 0{,}100 = 0{,}400\\ \mathrm{m}í
Número de voltas N (comprimento total dividido pelo comprimento de uma volta):
N=\frac{L_{\text{fio}}}{4a}=\frac{4{,}00}{0{,}400}=10
Área de cada volta:
A=a^2=(0{,}100)^2=0{,}0100\\ \mathrm{m}^2

Passo 3

Definir e calcular o momento magnético (dipolo) da bobina. Aula rápida: para uma bobina com N voltas, corrente I e área de cada volta A, o momento magnético (módulo) é
\mu = N I A.
Aqui:
\mu = 10\cdot 3{,}40\cdot 0{,}0100 = 0{,}34\\ \mathrm{A\cdot m^2}.
Explicando: \mu aponta perpendicular ao plano da bobina (regra da mão direita) e é a grandeza que interage com o campo magnético para gerar torque.

Passo 4

Expressar o torque magnético sobre a bobina em função do ângulo. Aula rápida: o torque magnético sobre um dipolo é
\tau_{\text{mag}}=\mu B\sin\alpha,
onde \alpha é o ângulo entre o vetor momento magnético \vec{\mu} (normal ao plano da bobina) e o vetor campo \vec{B}. No nosso problema o campo é vertical. Se chamarmos \varphi o ângulo que o plano da bobina faz com a vertical (isto é o que o enunciado pede), então a normal ao plano faz ângulo \alpha=90^\circ-\varphi com a vertical. Portanto
\sin\alpha=\sin(90^\circ-\varphi)=\cos\varphi,
e assim
\tau_{\text{mag}}=\mu B\cos\varphi.
Comentário: esse é o torque magnético que tende a girar a bobina para alinhar \vec{\mu} com \vec{B}.

Passo 5

Calcular o torque gravitacional (peso) que tende a girar a bobina em torno da articulação. Aula rápida de estática: o torque devido ao peso total Mg é o produto do peso pela distância perpendicular entre a linha de ação do peso e o eixo de rotação. Para a bobina formada por voltas de mesma forma, o centro de massa da bobina está no centro do quadrado. A distância do eixo (lado articulado) até o centro do quadrado é
d=\frac{a}{2}=0{,}050\\ \mathrm{m}.
Quando a bobina gira e seu plano faz ângulo \varphi com a vertical, a componente perpendicular (horizontal) da distância do centro ao eixo é d\cos\varphi (veja: para \varphi=0 d, para \varphi=90^\circ 0). Portanto o torque gravitacional em módulo é
\tau_{\text{grav}} = M g \, d \cos\varphi.
Substituindo d=a/2:
\tau_{\text{grav}} = M g \frac{a}{2}\cos\varphi.

Passo 6

Condição de equilíbrio (torques em equilíbrio): os torques magnético e gravitacional, em módulo, devem se igualar:
\tau_{\text{mag}}=\tau_{\text{grav}}.
Substituindo as expressões dos passos anteriores:
\mu B \cos\varphi = M g \frac{a}{2}\cos\varphi.
Note que o fator \cos\varphi aparece dos dois lados. Há duas possibilidades matemáticas para essa igualdade:
  1. \cos\varphi=0, ou seja \varphi=90^\circ; ou
  2. \mu B = M g \dfrac{a}{2}.
Devemos verificar qual caso é o que ocorre com os valores numéricos do problema.

Passo 7

Calcular numericamente os dois lados da segunda possibilidade para ver se ela seria satisfeita.
Primeiro o torque magnético máximo (amplitude \mu B):
\mu B = 0{,}34\cdot 0{,}010 = 0{,}0034\\ \mathrm{N\cdot m}.
Agora a quantia M g \dfrac{a}{2}:
M g \frac{a}{2} = 0{,}100\cdot 9{,}8\cdot 0{,}050 = 0{,}049\\ \mathrm{N\cdot m}.
Comparando:
\mu B = 0{,}0034\\ \mathrm{N\cdot m}\quad\text{e}\quad M g \frac{a}{2}=0{,}049\\ \mathrm{N\cdot m}.
Claramente \mu B \ll M g \dfrac{a}{2}, portanto a igualdade \mu B = M g \dfrac{a}{2} não é satisfeita.

Passo 8

Concluir qual caso se aplica: como \mu B \neq M g \dfrac{a}{2}, a única possibilidade restante da equação do Passo 6 é
\cos\varphi=0\quad\Rightarrow\quad \varphi=90^\circ.
Interpretação física: quando \varphi=90^\circ o plano da bobina fica horizontal (normal vertical). Nessa posição ambos os torques são nulos:
\tau_{\text{mag}}=\mu B\cos(90^\circ)=0,\qquad \tau_{\text{grav}}=M g \frac{a}{2}\cos(90^\circ)=0.
É uma posição de equilíbrio (trivialmente porque as linhas de ação do peso passam pelo eixo e o momento magnético está alinhado com B).

Passo 9

Calcular o torque magnético no equilíbrio exigido pela parte (b). Já vemos que em equilíbrio \varphi=90^\circ, então
\tau_{\text{mag,eq}}=\mu B\cos(90^\circ)=\mu B\cdot 0 = 0\\ \mathrm{N\cdot m}.
Numérico: \;0\\ \mathrm{N\cdot m}.

Resposta

(a) \displaystyle 90^\circ
(b) \displaystyle 0\\ \mathrm{N\cdot m}

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