8- (S19) Um longo pedaço de fio com massa de
e comprimento total de
é usado para fazer uma bobina quadrada com
de lado. A bobina é articulada ao longo de um lado horizontal, conduz uma corrente de
e é colocada em um campo magnético vertical com magnitude de
.
a) Determine o ângulo que o plano da bobina faz com a vertical quando a bobina está em equilíbrio.
b) Descubra o torque agindo sobre a bobina devido à força magnética no equilíbrio.
a) Determine o ângulo que o plano da bobina faz com a vertical quando a bobina está em equilíbrio.
b) Descubra o torque agindo sobre a bobina devido à força magnética no equilíbrio.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) O ângulo que o plano da bobina faz com a vertical quando a bobina está em equilíbrio.
- (b) O torque sobre a bobina devido à força magnética no equilíbrio.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Observação importante que vamos usar: o fio é usado para fazer uma bobina quadrada; com o comprimento do fio e o perímetro de cada volta dá para determinar o número de voltas da bobina. A bobina é articulada ao longo de um lado horizontal (é o eixo de rotação). Neste passo apenas identifiquei o que é pedido e os dados; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Calcular o número de voltas
da bobina e a área de cada volta.
Perímetro de uma volta quadrada com lado
:
Número de voltas
(comprimento total dividido pelo comprimento de uma volta):
Área de cada volta:
Passo 3
Definir e calcular o momento magnético (dipolo) da bobina. Aula rápida: para uma bobina com
voltas, corrente
e área de cada volta
, o momento magnético (módulo) é
Aqui:
Explicando:
aponta perpendicular ao plano da bobina (regra da mão direita) e é a grandeza que interage com o campo magnético para gerar torque.
Passo 4
Expressar o torque magnético sobre a bobina em função do ângulo. Aula rápida: o torque magnético sobre um dipolo é
onde
é o ângulo entre o vetor momento magnético
(normal ao plano da bobina) e o vetor campo
. No nosso problema o campo é vertical. Se chamarmos
o ângulo que o plano da bobina faz com a vertical (isto é o que o enunciado pede), então a normal ao plano faz ângulo
com a vertical. Portanto
e assim
Comentário: esse é o torque magnético que tende a girar a bobina para alinhar
com
.
Passo 5
Calcular o torque gravitacional (peso) que tende a girar a bobina em torno da articulação. Aula rápida de estática: o torque devido ao peso total
é o produto do peso pela distância perpendicular entre a linha de ação do peso e o eixo de rotação. Para a bobina formada por voltas de mesma forma, o centro de massa da bobina está no centro do quadrado. A distância do eixo (lado articulado) até o centro do quadrado é
Quando a bobina gira e seu plano faz ângulo
com a vertical, a componente perpendicular (horizontal) da distância do centro ao eixo é
(veja: para
dá
, para
dá
). Portanto o torque gravitacional em módulo é
Substituindo
:
Passo 6
Condição de equilíbrio (torques em equilíbrio): os torques magnético e gravitacional, em módulo, devem se igualar:
Substituindo as expressões dos passos anteriores:
Note que o fator
aparece dos dois lados. Há duas possibilidades matemáticas para essa igualdade:
-
, ou seja ; ou -
.
Devemos verificar qual caso é o que ocorre com os valores numéricos do problema.
Passo 7
Calcular numericamente os dois lados da segunda possibilidade para ver se ela seria satisfeita.
Primeiro o torque magnético máximo (amplitude
):
Agora a quantia
:
Comparando:
Claramente
, portanto a igualdade
não é satisfeita.
Passo 8
Concluir qual caso se aplica: como
, a única possibilidade restante da equação do Passo 6 é
Interpretação física: quando
o plano da bobina fica horizontal (normal vertical). Nessa posição ambos os torques são nulos:
É uma posição de equilíbrio (trivialmente porque as linhas de ação do peso passam pelo eixo e o momento magnético está alinhado com
).
Passo 9
Calcular o torque magnético no equilíbrio exigido pela parte (b). Já vemos que em equilíbrio
, então
Numérico:
Resposta
(a)
(b)
(b)