Em uma regiặo do espaço existe um campo elétrico dado por: \mathrm{E}=\mathrm{A}\left(\mathrm{x}^{2}+\mathrm{z}^{2}\right) \hat{\mathrm{i}}- \mathrm{Bz} /\left(\mathrm{z}^{2}+\mathrm{b}^{2}\right)^{3 / 2} \mathrm{k} sendo \mathrm{A}, \mathrm{B} constantes positivas, \mathrm{e} \mathrm{b}=1,00 \mathrm{~m}. Determine a diferença de potencial entre os pontos z=2,5 \mathrm{~m} \mathrm{e} z=5,4 \mathrm{~m}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado).
  • Campo elétrico:
\mathbf{E} = A\bigl(x^{2}+z^{2}\bigr)\,\hat{\mathbf{i}} \;-\; \frac{B\,z}{\bigl(z^{2}+b^{2}\bigr)^{3/2}}\,\hat{\mathbf{k}},
onde A e B são constantes positivas e b=1{,}00\\ \mathrm{m}.
  • Pede-se a diferença de potencial entre os pontos com coordenadas z=2{,}5\\ \mathrm{m} e z=5{,}4\\ \mathrm{m}.
Observação importante: o enunciado só dá valores de z. Vou assumir que os dois pontos estão sobre o eixo z (isto é, x=0 e y=0 nesses pontos) e que o deslocamento considerado é ao longo do eixo z. Sem essa hipótese (posição em x) a diferença de potencial entre pontos não fica bem determinada porque o campo tem componente em x que varia com x. Não perguntei nada e segui a interpretação natural: pontos sobre o eixo z.

Passo 2

Lembrete da relação que liga campo elétrico e diferença de potencial: para um deslocamento de um ponto P_1 a P_2,
V(P_{2})-V(P_{1}) = -\int_{P_{1}}^{P_{2}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
Aqui V é o potencial elétrico, \mathbf{E} o campo e d\mathbf{l} o elemento de deslocamento. Se o deslocamento for ao longo do eixo z com x fixo (no nosso caso x=0), então d\mathbf{l}=dz\,\hat{\mathbf{k}} e
\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = E_{z}\,dz,
onde E_{z} é a componente z do campo.

Passo 3

Verificação rápida se o campo é conservativo (para saber se a diferença de potencial seria independente do caminho). Calcula-se o rotacional:
(\nabla\times\mathbf{E})_{y}=\frac{\partial E_{x}}{\partial z}-\frac{\partial E_{z}}{\partial x}.
Temos E_{x}=A(x^{2}+z^{2}) e E_{z}=-\dfrac{Bz}{(z^{2}+b^{2})^{3/2}}. Então
\frac{\partial E_{x}}{\partial z}=2A z,\qquad \frac{\partial E_{z}}{\partial x}=0,
logo
(\nabla\times\mathbf{E})_{y}=2A z \neq 0\quad(\text{em geral}).
Portanto o campo NÃO é conservativo globalmente e a integral de linha depende do caminho. Por isso é essencial que se especifique o caminho; como disse no Passo 1, vou tomar o caminho ao longo do eixo z com x=0.

Passo 4

Escrever a componente z do campo (peguei esta expressão do enunciado):
E_{z}(z) = -\frac{B\,z}{\bigl(z^{2}+b^{2}\bigr)^{3/2}}.
Tomando P_{1} em z_{1}=2{,}5\\ \mathrm{m} e P_{2} em z_{2}=5{,}4\\ \mathrm{m} e integrando ao longo do eixo z,
V(z_{2})-V(z_{1}) = -\int_{z_{1}}^{z_{2}} E_{z}(z)\,dz = -\int_{z_{1}}^{z_{2}}\left[-\frac{B\,z}{(z^{2}+b^{2})^{3/2}}\right]dz = B\int_{z_{1}}^{z_{2}}\frac{z}{(z^{2}+b^{2})^{3/2}}\,dz.

Passo 5

Calcular a integral
I=\int\frac{z}{(z^{2}+b^{2})^{3/2}}\,dz.
Fazemos a substituição u=z^{2}+b^{2}, então du=2z\,dz e z\,dz=\dfrac{du}{2}. Assim
I=\int \frac{1}{2} u^{-3/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\left(-2\right) u^{-1/2}+C = -u^{-1/2}+C.
Voltando a z,
I = -\frac{1}{\sqrt{z^{2}+b^{2}}}+C.
Portanto a integral definida dá
V(z_{2})-V(z_{1}) = B\left[-\frac{1}{\sqrt{z^{2}+b^{2}}}\right]_{z_{1}}^{z_{2}} = B\left(\frac{1}{\sqrt{z_{1}^{2}+b^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{z_{2}^{2}+b^{2}}}\right).

Passo 6

Agora substituímos b=1{,}00\\ \mathrm{m}, z_{1}=2{,}5\\ \mathrm{m} e z_{2}=5{,}4\\ \mathrm{m} e calculamos numericamente o fator (peguei os valores dos z e de b do enunciado):
\sqrt{z_{1}^{2}+b^{2}}=\sqrt{(2{,}5)^{2}+1^{2}}=\sqrt{6{,}25+1}= \sqrt{7{,}25}\approx 2{,}6926,
\sqrt{z_{2}^{2}+b^{2}}=\sqrt{(5{,}4)^{2}+1^{2}}=\sqrt{29{,}16+1}= \sqrt{30{,}16}\approx 5{,}4910.
Portanto
\frac{1}{\sqrt{z_{1}^{2}+b^{2}}}\approx 0{,}371391,\qquad \frac{1}{\sqrt{z_{2}^{2}+b^{2}}}\approx 0{,}182086.
A diferença é
\frac{1}{\sqrt{z_{1}^{2}+b^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{z_{2}^{2}+b^{2}}}\approx 0{,}189305.
Logo
V(5{,}4\\ \mathrm{m})-V(2{,}5\\ \mathrm{m}) \approx 0{,}189305\,B.
Isto significa que a diferença de potencial, na trajetória escolhida (eixo z em x=0), vale aproximadamente 0{,}1893 vezes a constante B. Como B não foi numérico no enunciado, a resposta fica em função de B.

Resposta

V(5{,}4\\ \mathrm{m})-V(2{,}5\\ \mathrm{m})=B\!\left(\frac{1}{\sqrt{(2{,}5)^{2}+1^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{(5{,}4)^{2}+1^{2}}}\right)\approx 0{,}1893\,B.

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