Em uma regiặo do espaço existe um campo elétrico dado por: \mathrm{E}=\mathrm{A}\left(\mathrm{x}^{2}+\mathrm{z}^{2}\right) \hat{\mathrm{i}}- \mathrm{Bz} /\left(\mathrm{z}^{2}+\mathrm{b}^{2}\right)^{3 / 2} \mathrm{k} sendo \mathrm{A}, \mathrm{B} constantes positivas, \mathrm{e} \mathrm{b}=1,00 \mathrm{~m}. Determine a diferença de potencial entre os pontos z=2,5 \mathrm{~m} \mathrm{e} z=5,4 \mathrm{~m}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado).
onde A e B são constantes positivas e b=1{,}00\\ \mathrm{m}.
Pede-se a diferença de potencial entre os pontos com coordenadas z=2{,}5\\ \mathrm{m} e z=5{,}4\\ \mathrm{m}.
Observação importante: o enunciado só dá valores de z. Vou assumir que os dois pontos estão sobre o eixo z (isto é, x=0 e y=0 nesses pontos) e que o deslocamento considerado é ao longo do eixo z. Sem essa hipótese (posição em x) a diferença de potencial entre pontos não fica bem determinada porque o campo tem componente em x que varia com x. Não perguntei nada e segui a interpretação natural: pontos sobre o eixo z.
Passo 2
Lembrete da relação que liga campo elétrico e diferença de potencial: para um deslocamento de um ponto P_1 a P_2,
Aqui V é o potencial elétrico, \mathbf{E} o campo e d\mathbf{l} o elemento de deslocamento. Se o deslocamento for ao longo do eixo z com x fixo (no nosso caso x=0), então d\mathbf{l}=dz\,\hat{\mathbf{k}} e
\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = E_{z}\,dz,
onde E_{z} é a componente z do campo.
Passo 3
Verificação rápida se o campo é conservativo (para saber se a diferença de potencial seria independente do caminho). Calcula-se o rotacional:
(\nabla\times\mathbf{E})_{y}=2A z \neq 0\quad(\text{em geral}).
Portanto o campo NÃO é conservativo globalmente e a integral de linha depende do caminho. Por isso é essencial que se especifique o caminho; como disse no Passo 1, vou tomar o caminho ao longo do eixo z com x=0.
Passo 4
Escrever a componente z do campo (peguei esta expressão do enunciado):
Agora substituímos b=1{,}00\\ \mathrm{m}, z_{1}=2{,}5\\ \mathrm{m} e z_{2}=5{,}4\\ \mathrm{m} e calculamos numericamente o fator (peguei os valores dos z e de b do enunciado):
Isto significa que a diferença de potencial, na trajetória escolhida (eixo z em x=0), vale aproximadamente 0{,}1893 vezes a constante B. Como B não foi numérico no enunciado, a resposta fica em função de B.