Numa região do espaço existe um campo elétrico uniforme igual a 20 \mathrm{~N} / \mathrm{C}. Calcule o fluxo elétrico através de uma área plana A=0,5 \mathrm{~m}^{2}, sabendo que a normal à área forma com o vetor E un ângulo de:
30^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede o fluxo elétrico através de uma área plana. As informações fornecidas são:
  • Campo elétrico: E = 20\\ \mathrm{N/C}.
  • Área da superfície plana: A = 0,5\\ \mathrm{m^{2}}.
  • A normal à área forma com o vetor \vec{E} um ângulo de 30^\circ.
O que se pede: calcular o fluxo elétrico através dessa área.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula curta e prática):
  • Fluxo elétrico é uma medida de quantas linhas de campo atravessam uma superfície. Para uma superfície plana e um campo uniforme, o fluxo é o produto escalar (dot product) entre o vetor campo elétrico \vec{E} e o vetor área \vec{A}.
  • O vetor área \vec{A} tem módulo igual à área A e direção dada pela normal à superfície; escrevemos \vec{A} = A\,\hat{n}, onde \hat{n} é o versor normal.
  • Produto escalar: \vec{E}\cdot\vec{A} = EA\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{E} e \vec{A}. Aqui \theta é o mesmo ângulo entre \vec{E} e a normal, pois usamos \vec{A} orientado pela normal.
  • Portanto a fórmula prática para o problema é
\Phi = EA\cos\theta.
Explicando cada símbolo:
  • \Phi é o fluxo elétrico (unidade: \mathrm{N\cdot m^{2}/C}).
  • E é o módulo do campo elétrico em \mathrm{N/C}.
  • A é a área em \mathrm{m^{2}}.
  • \theta é o ângulo entre \vec{E} e a normal à superfície (aqui 30^\circ).
    Dica de prova: lembrar que se o campo for perpendicular à superfície ( \theta=0^\circ) o fluxo é máximo ( EA); se for paralelo à superfície ( \theta=90^\circ) o fluxo é zero.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula com os números dados:
\Phi = E A \cos\theta = 20\cdot 0,5 \cdot \cos(30^\circ).
Calcule passo a passo:
20\cdot 0,5 = 10.
Sabemos que
\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Então
\Phi = 10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}.
Para uma aproximação decimal útil na prova, use \sqrt{3}\approx 1{,}732, assim
\Phi \approx 5\cdot 1{,}732 = 8{,}660\\ (\text{aprox.}).

Passo 4

Interpretação física curta e encorajamento:
  • O sinal positivo indica que o fluxo é no sentido da normal escolhida (ou seja, o campo atravessa a superfície no mesmo sentido da normal).
  • Pronto — fizemos passo a passo sem pular etapas: identificamos dados, escrevemos a fórmula do produto escalar, substituímos e simplificamos. Você consegue resolver questões parecidas agora: só trocar E, A ou \theta e repetir o procedimento.

Resposta

5\sqrt{3}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C} \approx 8{,}660\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}

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