Numa região do espaço existe um campo magnético B constante no espaço mas variável no tempo. Coloca-se neste campo uma espira contida num plano que forma um ângulo \theta com B. Suponha que a espira de área A esteja girando no campo, de modo que o ângulo \theta possa variar no tempo. (a) Encontre uma expressão da f.e.m. induzida na espira. (b) Suponha agora que tanto \theta quanto A permaneçam constantes no tempo. Obtenha uma expressão para a f.e.m. induzida.

Passo 1

O enunciado fala de uma espira de área \,A imersa num campo magnético uniforme \mathbf B que varia no tempo, e cujo plano faz um ângulo \theta com a direção de \mathbf B. Vamos usar a lei de Faraday–Neumann para determinar a f.e.m. induzida, que diz que
\epsilon = -\frac{d\Phi}{dt},
onde \Phi é o fluxo magnético através da espira.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a expressão do fluxo magnético. Como \mathbf B é uniforme e a espira tem área A, o fluxo vale
\Phi(t) \;=\;\int \mathbf B\cdot d\mathbf A \;=\; B(t)\,A\cos\!\bigl(\theta(t)\bigr).

Passo 3

Agora derivamos \Phi(t) em função do tempo, lembrando que tanto B quanto \theta podem variar:
\frac{d\Phi}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl[B(t)\,A\cos\theta(t)\bigr] =A\Bigl(\cos\theta\;\frac{dB}{dt}-B\;\sin\theta\;\frac{d\theta}{dt}\Bigr).
Pela lei de Faraday, a f.e.m. induzida é
\epsilon =-\frac{d\Phi}{dt} =-A\cos\theta\;\frac{dB}{dt} \;+\;A\,B\;\sin\theta\;\frac{d\theta}{dt}.

Passo 4

No item (b) diz que \theta e A são constantes no tempo. Assim \tfrac{d\theta}{dt}=0 e A é fixo, sobrando apenas a variação de B. A f.e.m. induzida reduz-se a
\epsilon =-A\cos\theta\;\frac{dB}{dt}.

Resposta

(a) \displaystyle \epsilon=-A\cos\theta\;\frac{dB}{dt}+A\,B\;\sin\theta\;\frac{d\theta}{dt}.
(b) \displaystyle \epsilon=-A\cos\theta\;\frac{dB}{dt}.

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