Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por
e uma energia dada por
, onde
é um comprimento. (a) Determine a energia potencial em função de
e faça um gráfico de
em função de
. (b) Que tipo de potencial clássico tem esta forma?
Passo 1
O enunciado está em Mecânica Quântica estacionária: temos uma função de onda unidimensional
com energia
Pede-se encontrar o potencial
tal que
seja solução da equação de Schrödinger independente do tempo
Para isso vamos calcular
e usar
Passo 2
Defina o expoente
de modo que
. Então
Como
e
, obtemos
Passo 3
Substituindo em
com
, resulta
Agrupando termos,
Passo 4
Para esboçar
:
- Para
domina o termo , logo . - A derivada interna em
é , que se anula em . - Esse ponto é um mínimo único; para
ou a curva sobe indefinidamente.
O gráfico é, portanto, um poço assimétrico de quarto grau com um único mínimo em.
Passo 5
Como a forma de
é um polinômio de
ª ordem em
(termo dominante
) mais um termo linear, trata-se de um oscilador anarmônico quártico, isto é, um potencial clássico do tipo quartic-tilted (quártico com inclinação).
Resposta
cujo gráfico mostra um poço de forma assimétrica com crescimento quartico à medida que
aumenta.
Tipo clássico: potencial anarmônico quártico (quartic-tilted).
Tipo clássico: potencial anarmônico quártico (quartic-tilted).