Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por \psi(x)=A e^{-x^{3} / 2 L^{2}} e uma energia dada por \hbar^{2} / 2 m L^{2}, onde L é um comprimento. (a) Determine a energia potencial em função de x e faça um gráfico de V em função de x. (b) Que tipo de potencial clássico tem esta forma?

Passo 1

O enunciado está em Mecânica Quântica estacionária: temos uma função de onda unidimensional
\psi(x)=A\,e^{-x^{3}/2L^{2}}
com energia
\;E=\frac{\hbar^{2}}{2mL^{2}}\,.
Pede-se encontrar o potencial V(x) tal que \psi seja solução da equação de Schrödinger independente do tempo
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+V(x)\,\psi=E\,\psi.
Para isso vamos calcular \psi'' e usar
V(x)=E+\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{\psi''(x)}{\psi(x)}.

Passo 2

Defina o expoente
f(x)=-\frac{x^{3}}{2L^{2}}\!,
de modo que \psi=A\,e^{f(x)}. Então
f'(x)=-\frac{3x^{2}}{2L^{2}}, \qquad f''(x)=-\frac{3x}{L^{2}}.
Como \psi'=f'\,\psi e \psi''=(f''+(f')^{2})\psi, obtemos
\frac{\psi''}{\psi} =\;f''+(f')^{2} =-\frac{3x}{L^{2}} +\frac{9x^{4}}{4L^{4}}.

Passo 3

Substituindo em
V(x)=E+\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{\psi''}{\psi}
com E=\hbar^{2}/2mL^{2}, resulta
V(x) =\frac{\hbar^{2}}{2mL^{2}} +\frac{\hbar^{2}}{2m}\Bigl(-\frac{3x}{L^{2}} +\frac{9x^{4}}{4L^{4}}\Bigr).
Agrupando termos,
V(x) =\frac{\hbar^{2}}{2m}\Bigl[ \frac{1}{L^{2}} -\frac{3x}{L^{2}} +\frac{9x^{4}}{4L^{4}} \Bigr] =\frac{\hbar^{2}}{2mL^{2}}\Bigl[ 1-3\frac{x}{\,L\,}+\frac{9}{4}\bigl(\tfrac{x}{L}\bigr)^{4} \Bigr].

Passo 4

Para esboçar V(x):
  • Para |x|\to\infty domina o termo \propto x^{4}, logo V\to+\infty.
  • A derivada interna em u=x/L é \tfrac{d}{du}(1-3u+\tfrac{9}{4}u^{4})=9u^{3}-3, que se anula em u=(1/3)^{1/3}.
  • Esse ponto é um mínimo único; para u<0 ou u\gg1 a curva sobe indefinidamente.
    O gráfico é, portanto, um poço assimétrico de quarto grau com um único mínimo em x=L(1/3)^{1/3}.

Passo 5

Como a forma de V(x) é um polinômio de 4ª ordem em x (termo dominante x^{4}) mais um termo linear, trata-se de um oscilador anarmônico quártico, isto é, um potencial clássico do tipo quartic-tilted (quártico com inclinação).

Resposta

V(x) =\frac{\hbar^{2}}{2mL^{2}}\Bigl[\,1-3\frac{x}{L}+\frac{9}{4}\bigl(\tfrac{x}{L}\bigr)^{4}\Bigr],
cujo gráfico mostra um poço de forma assimétrica com crescimento quartico à medida que \lvert x\rvert aumenta.
Tipo clássico: potencial anarmônico quártico (quartic-tilted).

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