Em uma regiāo do espaço, a temperatura pode variar de acordo com uma função de três variáveis:
Uma partícula
, localizada no ponto
, necessita aquecer-se o mais rápido possível.
Outra partícula
, localizada no ponto
, necessita resfriar-se o mais rápido possível.
Pede-se:
2. Qual será a direção e o sentido que a partícula
deve tomar?
Outra partícula
Pede-se:
2. Qual será a direção e o sentido que a partícula
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede. Temos uma função que descreve a temperatura no espaço: $ T(x, y, z) = 20 - x^{2} - y^{2} - z^{2} $. Temos duas partículas, $ P_{1}(2,3,4) $ que quer aquecer o mais rápido possível e $ P_{2}(0,-1,0) $ que quer se resfriar o mais rápido possível. Nosso foco aqui é a parte 2, que pergunta qual a direção e o sentido que a partícula $ P_{2} $ deve seguir para resfriar rapidamente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de gradiente em cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o gradiente de uma função. O gradiente, denotado por $ \nabla T $, é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. No contexto da temperatura, ele indica a direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente. Para resfriar, queremos ir na direção oposta, ou seja, na direção de maior declínio da temperatura.
Vamos calcular o gradiente da função de temperatura:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto onde está a partícula $ P_{2} $, que é $ (0, -1, 0) $:
Esse vetor $ (0, 2, 0) $ indica a direção de maior aumento da temperatura naquele ponto.
Passo 4
Como $ P_{2} $ quer se resfriar o mais rápido possível, ela deve se mover na direção oposta ao gradiente. Portanto, a direção que $ P_{2} $ deve tomar é:
Para simplificar, podemos considerar a direção unitária, isto é, um vetor com comprimento 1. O vetor direção é:
Resposta
A partícula $ P_{2} $ deve mover-se na direção do vetor $ \mathbf{v} = (0, -1, 0) $, ou seja, na direção negativa do eixo $ y $, para resfriar-se o mais rápido possível.