Em uma regiāo do espaço, a temperatura pode variar de acordo com uma função de três variáveis:
T(x, y, z)=20-x^2-y^2-z^2
Uma partícula P1, localizada no ponto P1(2,3,4), necessita aquecer-se o mais rápido possível.
Outra partícula P2, localizada no ponto P2(0,-1,0), necessita resfriar-se o mais rápido possível.
Pede-se:
2. Qual será a direção e o sentido que a partícula P2 deve tomar?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Temos uma função que descreve a temperatura no espaço: $ T(x, y, z) = 20 - x^{2} - y^{2} - z^{2} $. Temos duas partículas, $ P_{1}(2,3,4) $ que quer aquecer o mais rápido possível e $ P_{2}(0,-1,0) $ que quer se resfriar o mais rápido possível. Nosso foco aqui é a parte 2, que pergunta qual a direção e o sentido que a partícula $ P_{2} $ deve seguir para resfriar rapidamente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de gradiente em cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o gradiente de uma função. O gradiente, denotado por $ \nabla T $, é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. No contexto da temperatura, ele indica a direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente. Para resfriar, queremos ir na direção oposta, ou seja, na direção de maior declínio da temperatura.
Vamos calcular o gradiente da função de temperatura:
nabla T
Calculando as derivadas parciais:
nabla T = ( partial Tpartial x, partial Tpartial y, partial Tpartial z )
Portanto,
partial Tpartial x = -2x partial Tpartial y = -2y partial Tpartial z = -2z

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto onde está a partícula $ P_{2} $, que é $ (0, -1, 0) $:
P2
Esse vetor $ (0, 2, 0) $ indica a direção de maior aumento da temperatura naquele ponto.

Passo 4

Como $ P_{2} $ quer se resfriar o mais rápido possível, ela deve se mover na direção oposta ao gradiente. Portanto, a direção que $ P_{2} $ deve tomar é:
P2
Para simplificar, podemos considerar a direção unitária, isto é, um vetor com comprimento 1. O vetor direção é:
P2

Resposta

A partícula $ P_{2} $ deve mover-se na direção do vetor $ \mathbf{v} = (0, -1, 0) $, ou seja, na direção negativa do eixo $ y $, para resfriar-se o mais rápido possível.

Exercícios relacionados