Sejam f(x) e g(x) funções reais definidas para todo x in R. Se para todo x>0 vale a igualdade g(x^2)=f(2 x^2-x+1), podemos afirmar que
A ( ) f não é sobrejetora.
B ( ) f não é injetora.
C ( ) g não é sobrejetora.
D ( ) g não é injetora.
E( ) f(a) neq g(a) para todo a>0.

Passo 1

O enunciado dá duas funções f e g de ℝ em ℝ e a relação g(x²) = f(2x² – x + 1) válida para todo x > 0. O tema aqui é analisar injeção e sobrejeção de f e g usando essa fórmula.

Passo 2

Fazemos a troca t = x², com t > 0. Então a relação vira g(t) = f(h(t)), onde definimos h(t) = 2t – √t + 1 para todo t > 0.

Passo 3

Para estudar injeção de g em (0, ∞), vemos se g(t₁)=g(t₂) implica t₁=t₂. Como g(t)=f(h(t)), se existirem t₁≠t₂ tais que h(t₁)=h(t₂), então g(t₁)=g(t₂) independe de f. Isso já basta para mostrar g não é injetora.

Passo 4

Analisamos h(t) = 2t – √t + 1. Derivando, h′(t) = 2 – 1/(2√t). Igualando a zero vem √t = 1/4, ou t = 1/16. h′<0 em (0,1/16) e h′>0 em (1/16,∞), logo h tem um valor mínimo em t=1/16 e depois cresce. Portanto h não é injetora em (0,∞): para qualquer valor u > h(1/16) = 7/8 existem dois t distintos com h(t)=u.

Passo 5

Como h não é injetora, a composição g(t)=f(h(t)) também não será injetora (mesmo sem saber f). Logo podemos afirmar que g não é injetora.

Resposta

g não é injetora.

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