Sejam
e
funções reais definidas para todo
. Se para todo
vale a igualdade
, podemos afirmar que
A ( )
não é sobrejetora.
B ( ) f não é injetora.
C ( ) g não é sobrejetora.
D ( ) g não é injetora.
)
para todo
.
A ( )
B ( ) f não é injetora.
C ( ) g não é sobrejetora.
D ( ) g não é injetora.
Passo 1
O enunciado dá duas funções f e g de ℝ em ℝ e a relação g(x²) = f(2x² – x + 1) válida para todo x > 0. O tema aqui é analisar injeção e sobrejeção de f e g usando essa fórmula.
Passo 2
Fazemos a troca t = x², com t > 0. Então a relação vira g(t) = f(h(t)), onde definimos h(t) = 2t – √t + 1 para todo t > 0.
Passo 3
Para estudar injeção de g em (0, ∞), vemos se g(t₁)=g(t₂) implica t₁=t₂. Como g(t)=f(h(t)), se existirem t₁≠t₂ tais que h(t₁)=h(t₂), então g(t₁)=g(t₂) independe de f. Isso já basta para mostrar g não é injetora.
Passo 4
Analisamos h(t) = 2t – √t + 1. Derivando, h′(t) = 2 – 1/(2√t). Igualando a zero vem √t = 1/4, ou t = 1/16. h′<0 em (0,1/16) e h′>0 em (1/16,∞), logo h tem um valor mínimo em t=1/16 e depois cresce. Portanto h não é injetora em (0,∞): para qualquer valor u > h(1/16) = 7/8 existem dois t distintos com h(t)=u.
Passo 5
Como h não é injetora, a composição g(t)=f(h(t)) também não será injetora (mesmo sem saber f). Logo podemos afirmar que g não é injetora.
Resposta
g não é injetora.