A região limitada pelas curvas y=x^2, y=2-x^2 e x=0 é girada ao redor do eixo y. Determine o volume do sólido gerado pelo método da casca cilíndrica. Faça um esboço da região e do sólido.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo y, a região do plano limitada por
y = x^2, y = 2 - x^2e x = 0
O método escolhido é o das cascas cilíndricas: cada reta vertical x=constante gera uma casca de raio, altura e espessura conhecidas.

Passo 2

Precisamos dos limites de integração em x. As curvas y=x^2 e y=2-x^2 intersectam-se quando
x^2 = 2 - x^2 Longrightarrow 2x^2 = 2 Longrightarrow x^2 = 1 Longrightarrow x = pm1
Como também temos x>=0, o intervalo de x é de 0 a 1.
Esboço da região no plano xy:
  • A parábola y=x^2 sobe a partir de (0,0).
  • A parábola y=2-x^2 desce de (0,2).
  • A reta x=0 é o limite esquerdo.
    A região fica naquele “lente” entre as duas parábolas, de x=0 a x=1.

Passo 3

Em fixo, ao girar em torno de , formamos uma casca de:
  • raio ,
  • altura ,
  • espessura .
    O volume de cada casca é .

Passo 4

O volume total é
Calculando a integral:
Portanto

Resposta

O volume do sólido gerado é pi.

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