A região limitada pelas curvas
e
é girada ao redor do eixo
. Determine o volume do sólido gerado pelo método da casca cilíndrica. Faça um esboço da região e do sólido.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo
, a região do plano limitada por
O método escolhido é o das cascas cilíndricas: cada reta vertical
gera uma casca de raio, altura e espessura conhecidas.
Passo 2
Precisamos dos limites de integração em
. As curvas
e
intersectam-se quando
Como também temos
, o intervalo de
é de
a
.
Esboço da região no plano
:
- A parábola
sobe a partir de . - A parábola
desce de . - A reta
é o limite esquerdo.
A região fica naquele “lente” entre as duas parábolas, dea .
Passo 3
Em
fixo, ao girar em torno de
, formamos uma casca de:
- raio
, - altura
, - espessura .
O volume de cada casca é .
Passo 4
O volume total é
Calculando a integral:
Portanto
Resposta
O volume do sólido gerado é
.