No sistema mola-masa, suponha que a força exercida pela mola não é dada pela lei de Hooke, mas, em vez disso, satisfaz a relação
em que
e
é pequeno em módulo mas pode ter qualquer sinal. A mola é dita "dura"se
e
mole se
. Por que esses termos são apropriados?.
Mostre que o deslocamento
da massa a partir de sua posição de equilíbrio satisfaz a equação diferencial
Suponha que as condições iniciais são
mole se
Mostre que o deslocamento
Passo 1
O enunciado trata de um sistema massa-mola com amortecimento, em que a força elástica não é linear de Hooke simples, mas satisfaz
onde
e
é pequeno (podendo ser positivo ou negativo). Há também uma força de amortecimento viscosa
. Queremos (1) entender por que
torna a mola “dura” e
“mole” e (2) usar a segunda lei de Newton para obter a equação diferencial de movimento
com as condições iniciais
.
Passo 2
Para
o termo
adiciona um reforço ao efeito restaurador linear: quanto maior
, mais que proporcional cresce a força elástica, tornando a mola progressivamente mais rígida (“dura”). Se
, o módulo da força elástica cresce menos que proporcional a
em grandes distâncias, ou até diminui, o que caracteriza uma mola “mole”.
Passo 3
Pela segunda lei de Newton, a soma das forças sobre a massa é
Aqui
Logo
Rearranjando, obtemos
Passo 4
Finalmente, impomos as condições iniciais fornecidas