No sistema mola-masa, suponha que a força exercida pela mola não é dada pela lei de Hooke, mas, em vez disso, satisfaz a relação
Fm=-(k s+epsilon s^3)
em que k>0 e epsilon é pequeno em módulo mas pode ter qualquer sinal. A mola é dita "dura"se epsilon>0 e
mole se epsilon<0. Por que esses termos são apropriados?.
Mostre que o deslocamento s(t) da massa a partir de sua posição de equilíbrio satisfaz a equação diferencial
m s^prime prime+lambda s^prime+k s+epsilon s^3=0
Suponha que as condições iniciais são
s(0)=0, s^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado trata de um sistema massa-mola com amortecimento, em que a força elástica não é linear de Hooke simples, mas satisfaz
Fm=-l(k,s+epsilon,s^3r),
onde k>0 e epsilon é pequeno (podendo ser positivo ou negativo). Há também uma força de amortecimento viscosa -lambda,s'. Queremos (1) entender por que epsilon>0 torna a mola “dura” e epsilon<0 “mole” e (2) usar a segunda lei de Newton para obter a equação diferencial de movimento
m,s''+lambda,s'+k,s+epsilon,s^3=0,
com as condições iniciais ;s(0)=0,;s'(0)=1.

Passo 2

Para epsilon>0 o termo epsilon,s^3 adiciona um reforço ao efeito restaurador linear: quanto maior s, mais que proporcional cresce a força elástica, tornando a mola progressivamente mais rígida (“dura”). Se epsilon<0, o módulo da força elástica cresce menos que proporcional a s em grandes distâncias, ou até diminui, o que caracteriza uma mola “mole”.

Passo 3

Pela segunda lei de Newton, a soma das forças sobre a massa é
m,s'' = Fel + Fam
Aqui
Fel = -l(k,s+epsilon,s^3r), Fam = -lambda,s'
Logo
m,s'' = -lambda,s' - k,s - epsilon,s^3
Rearranjando, obtemos
m,s'' + lambda,s' + k,s + epsilon,s^3 = 0

Passo 4

Finalmente, impomos as condições iniciais fornecidas
s(0)=0, s'(0)=1

Resposta

m,s'' + lambda,s' + k,s + epsilon,s^3 = 0, s(0)=0,;s'(0)=1

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