A região do 1 quadrante delimitada pelas curvas de equações
e
é girada em torno do eixo
. Determihe o volume do sólido resultante.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região do primeiro quadrante limitada pelas curvas y=x e y=x². Vamos usar o método dos discos (ou anéis): o volume de revolução é dado por
onde R(x) é a “função de cima” e r(x) a “função de baixo”.
Passo 2
Precisamos primeiro achar os pontos de interseção de y=x e y=x² no primeiro quadrante. Resolvendo
obtemos x(x−1)=0, logo x=0 ou x=1. Assim o intervalo de integração é de 0 a 1. Além disso, para 0≤x≤1, vale x ≥ x², então R(x)=x e r(x)=x².
Passo 3
Aplicando o método dos anéis, escrevemos
Passo 4
Basta agora calcular a integral: