A região do 1 quadrante delimitada pelas curvas de equações y=x e y=x^2 é girada em torno do eixo x. Determihe o volume do sólido resultante.
4 pi / 3
2 pi / 15
4 pi / 5
2 pi / 5
4 pi / 15

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região do primeiro quadrante limitada pelas curvas y=x e y=x². Vamos usar o método dos discos (ou anéis): o volume de revolução é dado por
V = pi integrala^b l[R(x)^2 - r(x)^2r] ,dx
onde R(x) é a “função de cima” e r(x) a “função de baixo”.

Passo 2

Precisamos primeiro achar os pontos de interseção de y=x e y=x² no primeiro quadrante. Resolvendo
x = x^2
obtemos x(x−1)=0, logo x=0 ou x=1. Assim o intervalo de integração é de 0 a 1. Além disso, para 0≤x≤1, vale x ≥ x², então R(x)=x e r(x)=x².

Passo 3

Aplicando o método dos anéis, escrevemos
V = pi integral0^1 l(x^2 - (x^2)^2r) ,dx = pi integral0^1 l(x^2 - x^4r) ,dx

Passo 4

Basta agora calcular a integral:
V = pi [ x^33 - x^55 ]0^1 = pi ( 13 - 15 ) = 2pi15

Resposta

2pi15

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