Dentre os candidatos que fizeram provas de matemática, português e inglês num concurso, 20 obtiveram nota mínima para aprovação nas três disciplinas. Além disso, sabe-se que:
I. 14 não obtiveram nota mínima em matemática;
II. 16 não obtiveram nota mínima em português;
III. 12 não obtiveram nota mínima em inglês;
IV. 5 não obtiveram nota mínima em matemática e em português;
V. 3 não obtiveram nota mínima em matemática e em inglês;
VI. 7 não obtiveram nota mínima em português e em inglês e
VII. 2 não obtiveram nota mínima em português, matemática e inglês.
A quantidade de candidatos que participaram do concurso foi
a) 44 .
b) 46 .
c) 47 .
d) 48 .
e) 49 .
I. 14 não obtiveram nota mínima em matemática;
II. 16 não obtiveram nota mínima em português;
III. 12 não obtiveram nota mínima em inglês;
IV. 5 não obtiveram nota mínima em matemática e em português;
V. 3 não obtiveram nota mínima em matemática e em inglês;
VI. 7 não obtiveram nota mínima em português e em inglês e
VII. 2 não obtiveram nota mínima em português, matemática e inglês.
A quantidade de candidatos que participaram do concurso foi
a) 44 .
b) 46 .
c) 47 .
d) 48 .
e) 49 .
Passo 1
O enunciado diz que há um total de candidatos
que fizeram provas de Matemática, Português e Inglês. Destes, 20 passaram em todas as três disciplinas. Temos também várias informações sobre quantos NÃO obtiveram nota mínima (ou seja, falharam) em cada disciplina e em suas combinações. O conteúdo é contagem usando o princípio da inclusão-exclusão aplicado ao conjunto de candidatos que falharam em pelo menos uma prova.
Passo 2
Vamos chamar de:
– o conjunto de quem falhou em Matemática, com
.
– o conjunto de quem falhou em Português, com
.
– o conjunto de quem falhou em Inglês, com
.
Também temos:
– ,
,
– .
–
–
–
Também temos:
–
–
Passo 3
Pelo princípio da inclusão-exclusão para o total de quem falhou em pelo menos uma prova, isto é
, temos:
Substituindo os valores:
Passo 4
– Soma das falhas individuais:
– Soma das interseções duplas:
– Interseção tripla:
– Soma das interseções duplas:
– Interseção tripla:
Logo:
Passo 5
Passo 6
Quem passou em todas as três provas é justamente o complemento de
no universo de
candidatos. Então:
Mas sabemos que quem passou nas três é 20, logo:
Passo 7
Resolvendo para
:
Passo 8
Passo 9
Portanto, o número total de candidatos que participaram do concurso é 49.
Resposta
49