Dentre os candidatos que fizeram provas de matemática, português e inglês num concurso, 20 obtiveram nota mínima para aprovação nas três disciplinas. Além disso, sabe-se que:
I. 14 não obtiveram nota mínima em matemática;
II. 16 não obtiveram nota mínima em português;
III. 12 não obtiveram nota mínima em inglês;
IV. 5 não obtiveram nota mínima em matemática e em português;
V. 3 não obtiveram nota mínima em matemática e em inglês;
VI. 7 não obtiveram nota mínima em português e em inglês e
VII. 2 não obtiveram nota mínima em português, matemática e inglês.
A quantidade de candidatos que participaram do concurso foi
a) 44 .
b) 46 .
c) 47 .
d) 48 .
e) 49 .

Passo 1

O enunciado diz que há um total de candidatos U que fizeram provas de Matemática, Português e Inglês. Destes, 20 passaram em todas as três disciplinas. Temos também várias informações sobre quantos NÃO obtiveram nota mínima (ou seja, falharam) em cada disciplina e em suas combinações. O conteúdo é contagem usando o princípio da inclusão-exclusão aplicado ao conjunto de candidatos que falharam em pelo menos uma prova.

Passo 2

Vamos chamar de:
M o conjunto de quem falhou em Matemática, com |M|=14.
P o conjunto de quem falhou em Português, com |P|=16.
I o conjunto de quem falhou em Inglês, com |I|=12.
Também temos:
|Mcap P|=5, |Mcap I|=3, |Pcap I|=7
|Mcap Pcap I|=2.

Passo 3

Pelo princípio da inclusão-exclusão para o total de quem falhou em pelo menos uma prova, isto é |Mcup Pcup I|, temos:
|Mcup Pcup I| = |M| + |P| + |I| - |Mcap P| - |Mcap I| - |Pcap I| + |Mcap Pcap I|
Substituindo os valores:

Passo 4

– Soma das falhas individuais: 14 + 16 + 12 = 42
– Soma das interseções duplas: 5 + 3 + 7 = 15
– Interseção tripla: 2
Logo:

Passo 5

|Mcup Pcup I| = 42 - 15 + 2 = 29

Passo 6

Quem passou em todas as três provas é justamente o complemento de Mcup Pcup I no universo de U candidatos. Então:
número que passaram nas três = U - |Mcup Pcup I| úê
Mas sabemos que quem passou nas três é 20, logo:

Passo 7

20 = U - 29
Resolvendo para U:

Passo 8

U = 20 + 29 = 49

Passo 9

Portanto, o número total de candidatos que participaram do concurso é 49.

Resposta

49

Exercícios relacionados