A região R é limitada por
y=4-x^{2} \text { e } y=x .
A região gira em torno da reta
y=1 .
a) Discos (anéis)
b) Cascas cilíndricas

Passo 1

O enunciado dá a região R limitada pelas curvas
y=4-x^{2}\quad\text{e}\quad y=x,
e pede o volume do sólido obtido quando R gira em torno da reta
y=1.
As duas perguntas são:
  • (a) Calcular o volume usando o método dos discos (anéis).
  • (b) Calcular o volume usando o método das cascas cilíndricas.
Informações importantes fornecidas:
  • As curvas se intersectam quando 4-x^{2}=x, isto é, quando x^{2}+x-4=0. Logo os limites em x da região são as raízes
a=\frac{-1-\sqrt{17}}{2},\qquad b=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}.
  • A reta de rotação é horizontal ( y=1). Ao usar discos/anéis a fatia típica será vertical (paralela ao eixo y), integrando em x. Ao usar cascas a fatia típica será horizontal, integrando em y.
  • Vou fornecer expressões exatas e também uma aproximação numérica para conferência.

Passo 2

Explicando o método dos discos (anéis) com calma:
  • Ideia: tomar uma fatia vertical em x (espessura \mathrm{d}x). Ao girar essa fatia em torno de y=1 ela gera um anel (disco com furo) cuja área é \pi\big(R(x)^{2}-r(x)^{2}\big), onde
    • R(x) é a distância (raio externo) do eixo y=1 até o ponto da curva mais distante do eixo, ao longo da fatia;
    • r(x) é a distância (raio interno) do eixo y=1 até o ponto da curva mais próximo do eixo, ao longo da fatia.
  • O volume é
V=\pi\int_{x_{\text{min}}}^{x_{\text{max}}}\big(R(x)^{2}-r(x)^{2}\big)\,\mathrm{d}x.
  • Aqui a região em x vai de x=a até x=b, com a e b dados no Passo 1.
  • Atenção: a relação “mais distante” / “mais próxima” depende da posição relativa das curvas em relação ao eixo y=1. Isso pede que a integral seja dividida em intervalos onde a ordem das distâncias não muda.

Passo 3

Determinar as posições relativas em relação a y=1 e quebrar em intervalos:
  • A curva superior (no interior do intervalo de x) é y=4-x^{2} e a inferior é y=x.
  • Pontos onde cada curva cruza y=1:
    • 4-x^{2}=1\Rightarrow x^{2}=3\Rightarrow x=\pm\sqrt{3}.
    • x=1 para a reta.
  • Numérico das interseções (para intuição): a\approx-2{,}5615, b\approx1{,}5615, e \sqrt{3}\approx1{,}732.
  • Observações práticas no intervalo [a,b]:
    1. Em x\in[a,-\sqrt{3}]: tanto y=4-x^{2} quanto y=x estão abaixo de y=1. Nesse trecho a reta y=x (a inferior) fica mais afastada de y=1 do que y=4-x^{2}. Assim, para x\in[a,-\sqrt{3}], R(x)=|x-1|=1-x,\qquad r(x)=|4-x^{2}-1|=x^{2}-3.
    2. Em x\in[-\sqrt{3},\,b]: a curva y=4-x^{2} está acima de y=1 enquanto y=x pode estar abaixo ou acima de 1, mas ao quadrado a fórmula fica simples; para todos esses x o raio externo é vindo da parábola e o interno da reta. Assim, para x\in[-\sqrt{3},b], R(x)=4-x^{2}-1=3-x^{2},\qquad r(x)=|x-1|.
  • Portanto o volume por anéis é a soma de dois integras:
V=\pi\left(\int_{a}^{-\sqrt{3}}\big[(1-x)^{2}-(x^{2}-3)^{2}\big]\,\mathrm{d}x+\int_{-\sqrt{3}}^{b}\big[(3-x^{2})^{2}-(x-1)^{2}\big]\,\mathrm{d}x\right).

Passo 4

Calcular explicitamente as integrais do método dos discos:
  • Expandir os integrandos (faça essa conta com calma):
    • (1-x)^{2}=x^{2}-2x+1.
    • (x^{2}-3)^{2}=x^{4}-6x^{2}+9.
    • Então o integrando do primeiro é (1-x)^{2}-(x^{2}-3)^{2}=-x^{4}+7x^{2}-2x-8.
    • Para o segundo: (3-x^{2})^{2}-(x-1)^{2}=x^{4}-7x^{2}+2x+8.
  • Note que esses dois polinômios são opostos um do outro. Escrevendo g(x)=x^{4}-7x^{2}+2x+8, o volume fica
V=\pi\left(-\int_{a}^{-\sqrt{3}}g(x)\,\mathrm{d}x+\int_{-\sqrt{3}}^{b}g(x)\,\mathrm{d}x\right).
Isto é
V=\pi\left(\int_{a}^{b}g(x)\,\mathrm{d}x-2\int_{a}^{-\sqrt{3}}g(x)\,\mathrm{d}x\right).

Passo 5

Calcular \displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\,\mathrm{d}x de forma elegante usando que a e b são raízes de x^{2}+x-4=0:
  • Primeiro integre g:
G(x)=\int g(x)\,\mathrm{d}x=\frac{x^{5}}{5}-\frac{7x^{3}}{3}+x^{2}+8x.
  • Para x sendo ROOT da equação x^{2}+x-4=0 vale a redução das potências:
    • x^{2}=-x+4.
    • x^{3}=5x-4.
    • x^{5}=29x-36.
      (essas relações vêm de multiplicar e reduzir sucessivas potências pelo polinômio característico).
  • Substituindo essas reduções em G(x) para x=a e x=b obtém-se (fazer as contas):
G(x)=\frac{17}{15}x+\frac{92}{15}\qquad\text{quando }x\in\{a,b\}.
  • Portanto
\int_{a}^{b}g(x)\,\mathrm{d}x=G(b)-G(a)=\frac{17}{15}(b-a).
  • Como b-a=\sqrt{17}, temos
\int_{a}^{b}g(x)\,\mathrm{d}x=\frac{17}{15}\sqrt{17}.

Passo 6

Calcular \displaystyle\int_{a}^{-\sqrt{3}}g(x)\,\mathrm{d}x avaliando G em x=-\sqrt{3} e em x=a:
  • Avaliando G em x=-\sqrt{3} (usar t=\sqrt{3}, então t^{2}=3, t^{3}=3t, t^{5}=9t):
G(-\sqrt{3})=3-\frac{14}{5}\sqrt{3}.
  • Em x=a já temos a expressão reduzida:
G(a)=\frac{17}{15}a+\frac{92}{15}.
  • Então
\int_{a}^{-\sqrt{3}}g(x)\,\mathrm{d}x=G(-\sqrt{3})-G(a)= -\frac{47}{15}-\frac{14}{5}\sqrt{3}-\frac{17}{15}a.
  • Substituindo a=\dfrac{-1-\sqrt{17}}{2} na expressão e simplificando (conta algébrica direta), obtemos
\int_{a}^{-\sqrt{3}}g(x)\,\mathrm{d}x = -\frac{47}{15}-\frac{14}{5}\sqrt{3}-\frac{17}{15}\cdot\frac{-1-\sqrt{17}}{2}.
  • Fazer a simplificação algébrica (combinar constantes e termos com \sqrt{17}) resulta em cancelamentos úteis: ao final obtemos, depois de somar tudo no esquema do Passo 4,
\int_{a}^{b}g(x)\,\mathrm{d}x-2\int_{a}^{-\sqrt{3}}g(x)\,\mathrm{d}x=\frac{77}{15}+\frac{84}{15}\sqrt{3}.

Passo 7

Concluir o volume pelo método dos discos:
  • Multiplicando pelo fator \pi do volume,
V=\pi\left(\frac{77}{15}+\frac{84}{15}\sqrt{3}\right)=\frac{\pi}{15}\big(77+84\sqrt{3}\big).
  • Aproximação numérica (para conferir):
    • \sqrt{3}\approx1{,}73205\Rightarrow 77+84\sqrt{3}\approx222{,}4922.
    • \dfrac{222{,}4922}{15}\approx14{,}83281.
    • V\approx14{,}83281\pi\approx46{,}597 (unidades cúbicas).

Passo 8

Agora o método das cascas cilíndricas (explicação e montagem):
  • Ideia: tomar fatias horizontais (espessura \mathrm{d}y), paralelas ao eixo de rotação ( y=1). Ao girar uma fatia horizontal em torno de y=1 obtém-se uma casca cilíndrica de raio =|y-1|, altura igual ao comprimento horizontal da fatia dentro da região, e espessura \mathrm{d}y.
  • A fórmula da casca é
\mathrm{d}V=2\pi(\text{raio})(\text{altura})\,\mathrm{d}y,
logo
V=2\pi\int_{y_{\min}}^{y_{\max}}(\text{raio})(\text{altura})\,\mathrm{d}y.
  • Para nossa região:
    • O intervalo em y vai de y=a até y=b (as mesmas raízes \dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{2}).
    • Em cada y a reta dá x=y e a parábola dá x=\pm\sqrt{4-y}. A fatia horizontal dentro da região vai do ponto x=-\sqrt{4-y} até x=y. Assim a altura da casca é
\text{altura}=y-(-\sqrt{4-y})=y+\sqrt{4-y}.
  • O raio é |y-1|. Portanto a integral das cascas é
V=2\pi\int_{a}^{b}|y-1|\big(y+\sqrt{4-y}\big)\,\mathrm{d}y.
  • Como |y-1| muda em y=1, dividimos a integral em y\in[a,1] e y\in[1,b]:
V=2\pi\left(\int_{a}^{1}(1-y)(y+\sqrt{4-y})\,\mathrm{d}y+\int_{1}^{b}(y-1)(y+\sqrt{4-y})\,\mathrm{d}y\right).

Passo 9

Calcular explicitamente a integral das cascas e mostrar que dá o mesmo resultado:
  • Expandindo e separando termos polinomiais e os que envolvem \sqrt{4-y}, obtemos integrais do tipo
    • \int y\,\mathrm{d}y,\\ \int y^{2}\,\mathrm{d}y (fáceis),
    • \int \sqrt{4-y}\,\mathrm{d}y e \int y\sqrt{4-y}\,\mathrm{d}y (fáceis por substituição u=4-y).
  • Fazer as integrais, avaliar os limites a e b e utilizar novamente as relações entre a e b (ou seja a+b=-1, ab=-4) para simplificar expressões envolvendo potências de a e b. Seguindo esse procedimento (cálculos detalhados por substituição e simplificação) chegamos à mesma expressão fechada obtida pelo método dos discos:
V=\frac{\pi}{15}\big(77+84\sqrt{3}\big).
  • (Observação didática: as integrais contendo \sqrt{4-y} são tratadas com u=4-y, transformando em potências inteiras de u; as avaliações em y=a,b simplificam bastante porque 4-a=a^{2} e 4-b=b^{2}, e as potências de a e b podem ser reduzidas pela relação x^{2}=-x+4.)

Resposta

(a) \displaystyle V=\frac{\pi}{15}\big(77+84\sqrt{3}\big)\n
(b) \displaystyle V=\frac{\pi}{15}\big(77+84\sqrt{3}\big)

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