A região
é limitada por
A região gira em torno da reta
a) Discos (anéis)
b) Cascas cilíndricas
b) Cascas cilíndricas
Passo 1
O enunciado dá a região
limitada pelas curvas
e pede o volume do sólido obtido quando
gira em torno da reta
As duas perguntas são:
- (a) Calcular o volume usando o método dos discos (anéis).
- (b) Calcular o volume usando o método das cascas cilíndricas.
Informações importantes fornecidas:
- As curvas se intersectam quando
, isto é, quando . Logo os limites em da região são as raízes
- A reta de rotação é horizontal (
). Ao usar discos/anéis a fatia típica será vertical (paralela ao eixo ), integrando em . Ao usar cascas a fatia típica será horizontal, integrando em . - Vou fornecer expressões exatas e também uma aproximação numérica para conferência.
Passo 2
Explicando o método dos discos (anéis) com calma:
- Ideia: tomar uma fatia vertical em
(espessura ). Ao girar essa fatia em torno de ela gera um anel (disco com furo) cuja área é , onde -
é a distância (raio externo) do eixo até o ponto da curva mais distante do eixo, ao longo da fatia; -
é a distância (raio interno) do eixo até o ponto da curva mais próximo do eixo, ao longo da fatia.
-
- O volume é
- Aqui a região em
vai de até , com e dados no Passo 1. - Atenção: a relação “mais distante” / “mais próxima” depende da posição relativa das curvas em relação ao eixo
. Isso pede que a integral seja dividida em intervalos onde a ordem das distâncias não muda.
Passo 3
Determinar as posições relativas em relação a
e quebrar em intervalos:
- A curva superior (no interior do intervalo de
) é e a inferior é . - Pontos onde cada curva cruza
: -
. -
para a reta.
-
- Numérico das interseções (para intuição):
, , e . - Observações práticas no intervalo
: - Em
: tanto quanto estão abaixo de . Nesse trecho a reta (a inferior) fica mais afastada de do que . Assim, para , - Em
: a curva está acima de enquanto pode estar abaixo ou acima de , mas ao quadrado a fórmula fica simples; para todos esses o raio externo é vindo da parábola e o interno da reta. Assim, para ,
- Em
- Portanto o volume por anéis é a soma de dois integras:
Passo 4
Calcular explicitamente as integrais do método dos discos:
- Expandir os integrandos (faça essa conta com calma):
-
. -
. - Então o integrando do primeiro é
- Para o segundo:
-
- Note que esses dois polinômios são opostos um do outro. Escrevendo
, o volume fica
Isto é
Passo 5
Calcular
de forma elegante usando que
e
são raízes de
:
- Primeiro integre
:
- Para
sendo ROOT da equação vale a redução das potências: -
. -
. -
.
(essas relações vêm de multiplicar e reduzir sucessivas potências pelo polinômio característico).
-
- Substituindo essas reduções em
para e obtém-se (fazer as contas):
- Portanto
- Como
, temos
Passo 6
Calcular
avaliando
em
e em
:
- Avaliando
em (usar , então , , ):
- Em
já temos a expressão reduzida:
- Então
- Substituindo
na expressão e simplificando (conta algébrica direta), obtemos
- Fazer a simplificação algébrica (combinar constantes e termos com
) resulta em cancelamentos úteis: ao final obtemos, depois de somar tudo no esquema do Passo 4,
Passo 7
Concluir o volume pelo método dos discos:
- Multiplicando pelo fator
do volume,
- Aproximação numérica (para conferir):
-
. -
. -
(unidades cúbicas).
-
Passo 8
Agora o método das cascas cilíndricas (explicação e montagem):
- Ideia: tomar fatias horizontais (espessura
), paralelas ao eixo de rotação ( ). Ao girar uma fatia horizontal em torno de obtém-se uma casca cilíndrica de raio , altura igual ao comprimento horizontal da fatia dentro da região, e espessura . - A fórmula da casca é
logo
- Para nossa região:
- O intervalo em
vai de até (as mesmas raízes ). - Em cada
a reta dá e a parábola dá . A fatia horizontal dentro da região vai do ponto até . Assim a altura da casca é
- O intervalo em
- O raio é
. Portanto a integral das cascas é
- Como
muda em , dividimos a integral em e :
Passo 9
Calcular explicitamente a integral das cascas e mostrar que dá o mesmo resultado:
- Expandindo e separando termos polinomiais e os que envolvem
, obtemos integrais do tipo -
(fáceis), -
e (fáceis por substituição ).
-
- Fazer as integrais, avaliar os limites
e e utilizar novamente as relações entre e (ou seja , ) para simplificar expressões envolvendo potências de e . Seguindo esse procedimento (cálculos detalhados por substituição e simplificação) chegamos à mesma expressão fechada obtida pelo método dos discos:
- (Observação didática: as integrais contendo
são tratadas com , transformando em potências inteiras de ; as avaliações em simplificam bastante porque e , e as potências de e podem ser reduzidas pela relação .)
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)