(2.0 pontos) - Um canal retangular com 3 m de largura, rugosidade n=0,014 e declividade de fundo de 0,8 \mathrm{~m} / \mathrm{km} transporta cm regime permanente e uniforme uma vazão de 6 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} . \mathrm{cm} uma determinada seção a largura é reduzida suavemente para 2,40 \mathrm{~m}. Qual é a altura d’água nesta seção? Qual deveria ser a largura da seção contraída para que o escoamento seja crítico sem alteração das condições do escoamento à montante? Despreze as perdas de carga na transição.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados extraídos do enunciado:
  • Largura inicial da seção: b_1=3{,}00\\ \mathrm{m}.
  • Largura da seção contraída (primeira pergunta): b_2=2{,}40\\ \mathrm{m}.
  • Rugosidade (Manning): n=0{,}014.
  • Declividade de fundo: S_0=0{,}8\\ \mathrm{m/km}=0{,}0008.
  • Vazão: Q=6{,}0\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Regime: permanente e uniforme antes da contração; desprezar perdas na transição.
O enunciado pede:
  1. A profundidade de água (altura d’água) na seção contraída de largura b_2=2{,}40\\ \mathrm{m} (assumir que nela o escoamento é uniforme com a mesma declividade e rugosidade).
  2. A largura b_c da seção contraída tal que o escoamento nessa seção seja crítico, mantendo inalteradas as condições do escoamento à montante (ou seja, sem alterar a condição a montante e sem perdas na transição).
Observação: para (1) usarei a fórmula de Manning para escoamento uniforme; para (2) usarei conservação de energia sem perdas entre a seção à montante (normal) e a seção contraída, e a condição de escoamento crítico para canal retangular.

Passo 2

Relembrando fórmulas e conceitos necessários (com explicação didática curta):
  • Fórmula de Manning (escoamento uniforme em canal aberto):
Q=\dfrac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão ( \mathrm{m}^3/\mathrm{s});
  • n é o coeficiente de Manning (adimensional);
  • A é a área molhada ( \mathrm{m}^2);
  • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}), definido por R=\dfrac{A}{P} com P perímetro molhado ( \mathrm{m});
  • S é a declividade da linha de energia (aqui igual a S_0 para regime uniforme).
Para canal retangular de largura b e profundidade y:
A=b\,y,\qquad P=b+2y,\qquad R=\dfrac{b\,y}{b+2y}.
  • Condição de escoamento crítico (canal retangular): para profundidade crítica y_c vale
Q^2=g\,b^2\,y_c^3,
isto é derivado da condição Fr=1 (número de Froude igual a 1) e pode ser reescrita para y_c como
y_c=\left(\dfrac{Q^2}{g\,b^2}\right)^{1/3}.
Além disso, a energia específica mínima (na condição crítica) para canal retangular é
E_c=\dfrac{3}{2}\,y_c.
  • Energia específica E numa seção (acima do fundo) é
E = y + \dfrac{Q^2}{2gA^2},
onde o segundo termo é a contribuição cinética (velocidade média V=Q/A). Em um escoamento sem perdas, E é conservada entre seções.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Cálculo da profundidade na seção contraída b_2=2{,}40\\ \mathrm{m} usando Manning.
Primeiro calculei o fator independente de y:
S^{1/2}=\sqrt{0{,}0008}=0{,}02828427\ldots, \qquad \dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{0{,}014}=71{,}428571\ldots,
portanto
\dfrac{1}{n}S^{1/2}=71{,}428571\cdot0{,}02828427\approx2{,}020305.
Reescrevendo Manning como
Q = 2{,}020305\; A\; R^{2/3}.
Logo precisamos de
A\,R^{2/3}=\dfrac{Q}{2{,}020305}=\dfrac{6{,}0}{2{,}020305}\approx2{,}970.
Para b=2{,}40\\ \mathrm{m} temos A=2{,}40\,y e R=\dfrac{2{,}40\,y}{2{,}40+2y}. Devemos achar y tal que
F(y):=A\,R^{2/3}-2{,}970=0.
Resolvi numericamente por tentativa (método de bissecção/iteração simples), avaliando A R^{2/3} para alguns y:
  • y=1{,}0\\ \mathrm{m}: A=2{,}40, P=4{,}40, R=0{,}54545, R^{2/3}\approx0{,}6675, A R^{2/3}\approx2{,}40\cdot0{,}6675=1{,}602\\ (<2{,}970).
  • y=1{,}5\\ \mathrm{m}: A=3{,}60, P=5{,}40, R=0{,}66667, R^{2/3}\approx0{,}7635, A R^{2/3}\approx3{,}60\cdot0{,}7635=2{,}749\\ (<2{,}970).
  • y=1{,}6\\ \mathrm{m}: A=3{,}84, P=5{,}60, R=0{,}685714, R^{2/3}\approx0{,}7778, A R^{2/3}\approx3{,}84\cdot0{,}7778=2{,}987\\ (>2{,}970).
Portanto a raiz está entre y=1{,}50 e y=1{,}60. Refinei:
  • y=1{,}59\\ \mathrm{m}: A=3{,}816, P=5{,}58, R\approx0{,}68315, R^{2/3}\approx0{,}7757, A R^{2/3}\approx3{,}816\cdot0{,}7757=2{,}960\\ (<2{,}970).
  • y=1{,}595\\ \mathrm{m}: A=3{,}828, P=5{,}59, R\approx0{,}68443, R^{2/3}\approx0{,}7768, A R^{2/3}\approx3{,}828\cdot0{,}7768=2{,}973\\ (>2{,}970).
Interpolando entre y=1{,}59 e y=1{,}595 obtém-se
y\approx1{,}594\\ \mathrm{m}.
Conclusão do item (1): a profundidade na seção de 2{,}40\\ \mathrm{m} é aproximadamente y\approx1{,}594\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Agora calculo a largura b_c necessária para que o escoamento na seção contraída seja crítico, sem alterar as condições à montante.
Procedimento físico: as condições à montante são o escoamento uniforme no canal de largura b_1=3{,}00\\ \mathrm{m} com os mesmos n e S_0. Primeiro encontro a profundidade normal montante y_n (para b_1), depois calculo a energia específica à montante E_1. Sem perdas, essa energia é igual à energia específica na seção contraída. Se a seção contraída for crítica, então E_c=\tfrac{3}{2}y_c. Igualando E_1=E_c obtenho y_c=\tfrac{2}{3}E_1. Com y_c e Q uso a relação crítica para achar b_c.
Passos numéricos:
  1. Determinar y_n para b_1=3{,}00\\ \mathrm{m} via Manning (mesma constante 2{,}020305 calculada antes). Procuramos y tal que
A R^{2/3}=\dfrac{Q}{2{,}020305}\approx2{,}970,
com A=3y e R=\dfrac{3y}{3+2y}.
Avaliações por tentativa:
  • y=1{,}2\\ \mathrm{m}: A=3{,}6, R=0{,}6667, R^{2/3}\approx0{,}7635, A R^{2/3}\approx2{,}749.
  • y=1{,}3\\ \mathrm{m}: A=3{,}9, R\approx0{,}69643, R^{2/3}\approx0{,}7856, A R^{2/3}\approx3{,}064.
Refinando:
  • y\approx1{,}271\\ \mathrm{m} A R^{2/3}\approx2{,}970 (convergência por iteração).
Assim y_n\approx1{,}271\\ \mathrm{m} e A_1=3\,y_n\approx3{,}813\\ \mathrm{m}^2.
  1. Energia específica à montante:
E_1 = y_n + \dfrac{Q^2}{2gA_1^2}.
Calculei numericamente:
\dfrac{Q^2}{2gA_1^2}=\dfrac{36}{2\cdot9{,}81\cdot(3{,}813)^2}\approx0{,}1263\\ \mathrm{m},
então
E_1\approx1{,}271+0{,}1263=1{,}3973\\ \mathrm{m}.
  1. Se a seção contraída for crítica, a profundidade crítica y_c satisfaz
E_1 = E_c = \dfrac{3}{2}\,y_c \quad\Rightarrow\quad y_c=\dfrac{2}{3}E_1 \approx \dfrac{2}{3}\cdot1{,}3973 \approx0{,}9316\\ \mathrm{m}.
  1. Usando a relação crítica para canal retangular:
Q^2 = g\,b_c^2\,y_c^3 \quad\Rightarrow\quad b_c = \dfrac{Q}{\sqrt{g}\;y_c^{3/2}}.
Calculando numericamente:
y_c^{3/2}=y_c\sqrt{y_c}\approx0{,}9316\cdot\sqrt{0{,}9316}\approx0{,}8990,
\sqrt{g}\approx\sqrt{9{,}81}\approx3{,}1321,
b_c\approx\dfrac{6{,}0}{3{,}1321\cdot0{,}8990}\approx\dfrac{6{,}0}{2{,}815}\approx2{,}132\\ \mathrm{m}.
Portanto a largura necessária para obter escoamento crítico na seção contraída, sem alterar as condições à montante e desprezando perdas, é aproximadamente b_c\approx2{,}13\\ \mathrm{m}.

Resposta

y_{b=2{,}40\\ \mathrm{m}}\approx1{,}594\\ \mathrm{m}\n
b_c\approx2{,}13\\ \mathrm{m}

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