(2.0 pontos) - Um canal retangular com 3 m de largura, rugosidade
e declividade de fundo de
transporta cm regime permanente e uniforme uma vazão de
uma determinada seção a largura é reduzida suavemente para
. Qual é a altura d’água nesta seção? Qual deveria ser a largura da seção contraída para que o escoamento seja crítico sem alteração das condições do escoamento à montante? Despreze as perdas de carga na transição.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados extraídos do enunciado:
- Largura inicial da seção:
. - Largura da seção contraída (primeira pergunta):
. - Rugosidade (Manning):
. - Declividade de fundo:
. - Vazão:
. - Regime: permanente e uniforme antes da contração; desprezar perdas na transição.
O enunciado pede:
- A profundidade de água (altura d’água) na seção contraída de largura
(assumir que nela o escoamento é uniforme com a mesma declividade e rugosidade). - A largura
da seção contraída tal que o escoamento nessa seção seja crítico, mantendo inalteradas as condições do escoamento à montante (ou seja, sem alterar a condição a montante e sem perdas na transição).
Observação: para (1) usarei a fórmula de Manning para escoamento uniforme; para (2) usarei conservação de energia sem perdas entre a seção à montante (normal) e a seção contraída, e a condição de escoamento crítico para canal retangular.
Passo 2
Relembrando fórmulas e conceitos necessários (com explicação didática curta):
- Fórmula de Manning (escoamento uniforme em canal aberto):
onde:
-
é a vazão ( ); -
é o coeficiente de Manning (adimensional); -
é a área molhada ( ); -
é o raio hidráulico ( ), definido por com perímetro molhado ( ); -
é a declividade da linha de energia (aqui igual a para regime uniforme).
Para canal retangular de largura
e profundidade
:
- Condição de escoamento crítico (canal retangular): para profundidade crítica
vale
isto é derivado da condição
(número de Froude igual a 1) e pode ser reescrita para
como
Além disso, a energia específica mínima (na condição crítica) para canal retangular é
- Energia específica
numa seção (acima do fundo) é
onde o segundo termo é a contribuição cinética (velocidade média
). Em um escoamento sem perdas,
é conservada entre seções.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.
Passo 3
Cálculo da profundidade na seção contraída
usando Manning.
Primeiro calculei o fator independente de
:
portanto
Reescrevendo Manning como
Logo precisamos de
Para
temos
e
. Devemos achar
tal que
Resolvi numericamente por tentativa (método de bissecção/iteração simples), avaliando
para alguns
:
-
: , , , , -
: , , , , -
: , , , ,
Portanto a raiz está entre
e
. Refinei:
-
: , , , , -
: , , , ,
Interpolando entre
e
obtém-se
Conclusão do item (1): a profundidade na seção de
é aproximadamente
.
Passo 4
Agora calculo a largura
necessária para que o escoamento na seção contraída seja crítico, sem alterar as condições à montante.
Procedimento físico: as condições à montante são o escoamento uniforme no canal de largura
com os mesmos
e
. Primeiro encontro a profundidade normal montante
(para
), depois calculo a energia específica à montante
. Sem perdas, essa energia é igual à energia específica na seção contraída. Se a seção contraída for crítica, então
. Igualando
obtenho
. Com
e
uso a relação crítica para achar
.
Passos numéricos:
- Determinar
para via Manning (mesma constante calculada antes). Procuramos tal que
com
e
.
Avaliações por tentativa:
-
: , , , . -
: , , , .
Refinando:
-
dá (convergência por iteração).
Assim
e
.
- Energia específica à montante:
Calculei numericamente:
então
- Se a seção contraída for crítica, a profundidade crítica
satisfaz
- Usando a relação crítica para canal retangular:
Calculando numericamente:
Portanto a largura necessária para obter escoamento crítico na seção contraída, sem alterar as condições à montante e desprezando perdas, é aproximadamente
.