A região sob a curva y=cos ^2 x, 0 <= x <= pi / 2, é girada em torno do eixo x. Encontre o volume do sólido obtido.

Passo 1

A questão pede o volume do sólido obtido pela rotação da região sob a curva y = cos²x no intervalo 0 ≤ x ≤ π/2 em torno do eixo x. Vamos usar o método dos discos, cuja fórmula geral é V = π∫[f(x)]² dx, e técnicas de integração (redução de potência).

Passo 2

Ao girar a curva em torno do eixo x, cada seção transversal é um disco de raio y = cos²x. Logo o volume é
V = pi integral0^pi/2 l(cos^2 xr)^2 ,dx = pi integral0^pi/2 cos^4 x ,dx

Passo 3

Para calcular integral0^pi/2 cos^4 x,dx, usamos a identidade de redução de potência:
cos^4 x = 38 + 12cos2x + 18cos4x
Assim,
integral0^pi/2 cos^4 x,dx = integral0^pi/2 l(tfrac38 + tfrac12cos2x + tfrac18cos4xr)dx = tfrac38 cdot tfracpi2 = tfrac3pi16,
pois os termos em cosenos se anulam de 0 a π/2.

Passo 4

Finalmente, multiplicando pelo π da fórmula de volume, obtemos
V = pi cdot tfrac3pi16 = tfrac3pi^216

Resposta

tfrac3pi^216

Exercícios relacionados