Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo
do conjunto
e ,
e ,
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo Ox da região A definida por 0 ≤ x
y ≤ 2, x² + y² ≤ 5 e x > 0. O conteúdo principal aqui é o método dos discos (ou fatias): em cada x fixo, a seção transversal perpendicular ao eixo x é um círculo de raio yₘₐₓ(x), e o volume é dado por π ∫ [yₘₐₓ(x)]² dx.
y ≤ 2, x² + y² ≤ 5 e x > 0. O conteúdo principal aqui é o método dos discos (ou fatias): em cada x fixo, a seção transversal perpendicular ao eixo x é um círculo de raio yₘₐₓ(x), e o volume é dado por π ∫ [yₘₐₓ(x)]² dx.
Passo 2
Para identificar yₘₐₓ(x), note que na região A temos y ≥ 0 (pois x > 0 e 0 ≤ x
y). As duas restrições dão y ≤ 2/x e y ≤ √(5 − x²). Logo
y). As duas restrições dão y ≤ 2/x e y ≤ √(5 − x²). Logo
Passo 3
Para saber quando usar cada ramo, igualamos
Elevando ao quadrado:
Passo 4
Assim o volume é
$$V=\pi\int_{0}{\sqrt5}[y_{\max}(x)]2,dx
=\pi\Bigl(\int_01(5-x2),dx+\int_12\frac{4}{x2},dx+\int_2{\sqrt5}(5-x2),dx\Bigr).$$
Passo 5
Agora calculamos cada integral:
Passo 6
Somando tudo dentro do parêntese: