Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo O x do conjunto
e ,

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo Ox da região A definida por 0 ≤ x
y ≤ 2, x² + y² ≤ 5 e x > 0. O conteúdo principal aqui é o método dos discos (ou fatias): em cada x fixo, a seção transversal perpendicular ao eixo x é um círculo de raio yₘₐₓ(x), e o volume é dado por π ∫ [yₘₐₓ(x)]² dx.

Passo 2

Para identificar yₘₐₓ(x), note que na região A temos y ≥ 0 (pois x > 0 e 0 ≤ x
y). As duas restrições dão y ≤ 2/x e y ≤ √(5 − x²). Logo
ymax(x)=minl(2x,,raiz5-x^2r), 0

Passo 3

Para saber quando usar cada ramo, igualamos
2x=raiz5-x^2
Elevando ao quadrado:
4x^2=5-x^2Longrightarrow x^4-5x^2+4=0Longrightarrow x^2=1 ou 4,daí x=1 ou x=2 (considerando x>0). Testando intervalos, chega-se a: em 0<x<1 e em 2<x<√5 vale yₘₐₓ=√(5−x²), e em 1<x<2 vale yₘₐₓ=2/x.

Passo 4

Assim o volume é
$$V=\pi\int_{0}{\sqrt5}[y_{\max}(x)]2,dx
=\pi\Bigl(\int_01(5-x2),dx+\int_12\frac{4}{x2},dx+\int_2{\sqrt5}(5-x2),dx\Bigr).$$

Passo 5

Agora calculamos cada integral:
integral0^1(5-x^2),dx=l[5x-x^33r]0^1=5-13=143,
integral1^24x^2,dx=4l[-1xr]1^2=4l(-tfrac12+1r)=2, integral2^raiz5(5-x^2),dx=l[5x-x^33r]2^raiz5=10raiz5-223

Passo 6

Somando tudo dentro do parêntese:
143+2+10raiz5-223=10raiz5-23,portanto o volume final é π vezes isso.

Resposta

V=pi3l(10raiz5-2r)

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