( 2 pontos) Calcule a derivada das seguintes funções.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas: a função é uma composição (aninhada) de funções trigonométricas e lineares — temos um seno exterior aplicado a
, e dentro desse soma há outro seno de
. A única pergunta é: encontrar
(a derivada em relação a
).
Passo 2
Regra que vamos usar (cadeia): se
, então a derivada é
Explicando com calma:
é a função exterior,
é a função interior; para derivar a composição, derivamos a função exterior e avaliamos essa derivada no ponto
, depois multiplicamos pela derivada de
. Cada vez que houver outra composição dentro, aplicamos a regra de novo (multiplicamos pelas derivadas de cada nível interior).
Passo 3
Identificação dos níveis da composição na nossa função:
- Função exterior:
, onde . - Função interior imediata:
. - Dentro de
há ainda a composição , que é com .
Vamos aplicar a regra da cadeia por níveis: derivada da
vezes derivada de
; e, ao derivar
, derivamos a soma
termo a termo.
Passo 4
Derivadas básicas que precisamos (lembre-se do que cada símbolo significa):
- Derivada de
em relação a é . Ou seja, se então . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Agora aplicamos: pela regra da cadeia,
Passo 5
Calculando a derivada do interior
termo a termo:
-
(aqui usamos a cadeia de novo: derivada do seno vezes derivada de .) -
Somando,
Passo 6
Substituímos esse resultado em
obtido no Passo 4:
Isso já é a forma final e mais direta da derivada. Se quiser ver um exemplo simples parecido: para
a derivada é
— mesma ideia, cadeia com uma única camada interior
.