( 2 pontos) Calcule a derivada das seguintes funções.
f(x)=\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(2 x)+x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\operatorname{sen}(\operatorname{sen}(2 x)+x).
Informações dadas: a função é uma composição (aninhada) de funções trigonométricas e lineares — temos um seno exterior aplicado a \operatorname{sen}(2x)+x, e dentro desse soma há outro seno de 2x. A única pergunta é: encontrar f'(x) (a derivada em relação a x).

Passo 2

Regra que vamos usar (cadeia): se F(x)=G(H(x)), então a derivada é
F'(x)=G'(H(x))\cdot H'(x).
Explicando com calma: G é a função exterior, H é a função interior; para derivar a composição, derivamos a função exterior e avaliamos essa derivada no ponto H(x), depois multiplicamos pela derivada de H(x). Cada vez que houver outra composição dentro, aplicamos a regra de novo (multiplicamos pelas derivadas de cada nível interior).

Passo 3

Identificação dos níveis da composição na nossa função:
  • Função exterior: G(t)=\operatorname{sen}(t), onde t=\operatorname{sen}(2x)+x.
  • Função interior imediata: H(x)=\operatorname{sen}(2x)+x.
  • Dentro de H há ainda a composição \operatorname{sen}(2x), que é S(u)=\operatorname{sen}(u) com u=2x.
Vamos aplicar a regra da cadeia por níveis: derivada da G vezes derivada de H; e, ao derivar H, derivamos a soma \operatorname{sen}(2x)+x termo a termo.

Passo 4

Derivadas básicas que precisamos (lembre-se do que cada símbolo significa):
  • Derivada de \operatorname{sen}(u) em relação a u é \operatorname{cos}(u). Ou seja, se S(u)=\operatorname{sen}(u) então S'(u)=\operatorname{cos}(u).
  • Derivada de 2x em relação a x é 2.
  • Derivada de x em relação a x é 1.
Agora aplicamos: pela regra da cadeia,
f'(x)=\operatorname{cos}(\operatorname{sen}(2x)+x)\cdot \frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(2x)+x\big).

Passo 5

Calculando a derivada do interior H(x)=\operatorname{sen}(2x)+x termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(2x)\big)=\operatorname{cos}(2x)\cdot \dfrac{d}{dx}(2x)=\operatorname{cos}(2x)\cdot 2=2\operatorname{cos}(2x). (aqui usamos a cadeia de novo: derivada do seno vezes derivada de 2x.)
  • \dfrac{d}{dx}(x)=1.
Somando,
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(2x)+x\big)=2\operatorname{cos}(2x)+1.

Passo 6

Substituímos esse resultado em f'(x) obtido no Passo 4:
f'(x)=\operatorname{cos}(\operatorname{sen}(2x)+x)\cdot\big(2\operatorname{cos}(2x)+1\big).
Isso já é a forma final e mais direta da derivada. Se quiser ver um exemplo simples parecido: para g(x)=\operatorname{sen}(3x) a derivada é g'(x)=3\operatorname{cos}(3x) — mesma ideia, cadeia com uma única camada interior 3x.

Resposta

f'(x)=\operatorname{cos}(\operatorname{sen}(2x)+x)\big(2\operatorname{cos}(2x)+1\big)

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