Resolva as EDs utilizando separação de variáveis, e explicite a solução quando necessário.
(x^2+1) y^prime=x y

Passo 1

Aqui a gente tem a EDO (x^2+1),y'=x,y, que é um caso clássico de separação de variáveis. O conteúdo principal é separar termos em y e em x e depois integrar cada lado.

Passo 2

Primeiro, dividimos ambos os lados por (x^2+1)y, para agrupar y de um lado e x do outro:
1y,dydx=xx^2+1

Passo 3

Agora reescrevemos como integrais em y e x:
integral1y,dy=integralxx^2+1,dx

Passo 4

No lado esquerdo a integral é ln|y|. No direito a gente usa a substituição u=x^2+1, então du=2x,dx, dando
integralxx^2+1,dx=12integral1u,du=12ln|u|+C=12ln(x^2+1)+C

Passo 5

Portanto
ln|y|=tfrac12ln(x^2+1)+C

Passo 6

Fazendo a exponenciação, temos |y|=e^C,(x^2+1)^1/2. Chamando e^C de constante arbitrária C, obtemos
y=Craizx^2+1,
que já inclui a solução trivial y=0 quando C=0.

Resposta

y(x)=C\sqrt{x^2+1}

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