Registros de um laboratório mostram que 2% das amostras de um determinado material são perdidas por contaminação. Responda cada um dos seguintes items declarando a variável aleatória e a sua distribuição. Se preciso, faça suposições necessárias e adequadas em cada caso.
OBS 1: Os valores entre parêntesis no início de cada item indicam o número de decimais e tolerãncia nas respostas, respectivamente.
OBS 2: Utilize vírgula (",") como caractere separador de decimais, por exemplo: 0,123.
a.
Em um teste para avaliar a contaminação, análises serão feitas sequencialmente até que a primeira contaminada seja encontrada. Quantas análises ao todo espera-se fazer?
b.
Considere agora que o laboratório faz um grande número de análises por semana e registra uma média de 2.0 casos de contaminação por semana. Qual a probabilidade de que em uma determinada semana sejam registradas mais de 5 contaminações?
c.
Um lote contendo 80 amostras das quais 2 eram contaminadas foi enviado para um outro laboratório no qual 16 amostras foram selecionadas ao acaso (e sem reposição) para testes. Qual a probabilidade de encontrar 1 ou menos contaminadas entre as selecionadas?
d.
Se forem feitas 16 análises qual a probabilidade de que menos do que 4 sejam contaminadas?
e.
Um teste será conduzido com análises feitas sequencialmente até encontrar a segunda contaminação. Qual a probabilidade de que o número total de análises seja de no máximo 6?
OBS 2: Utilize vírgula (",") como caractere separador de decimais, por exemplo: 0,123.
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado diz que cada amostra tem probabilidade de contaminação
. Vamos modelar cada item usando as distribuições clássicas de variáveis discretas: geométrica para “até a primeira contaminação”, Poisson para contagens em intervalos fixos, hipergeométrica para amostragem sem reposição, binomial para ensaios independentes e negativa binomial para “até a segunda contaminação”. A seguir, em cada passo, definimos a variável, a distribuição e calculamos o valor pedido.
Passo 2
a. Definimos
como o número de análises até encontrar a primeira contaminada.
segue distribuição geométrica de parâmetro
, isto é
O valor esperado de
é
Passo 3
b. Como o laboratório registra em média 2 contaminadas por semana, modelamos
por Poisson de parâmetro
, ou seja
Queremos
.
Calculando numericamente, obtém‐se
Calculando numericamente, obtém‐se
Passo 4
c. Aqui o lote tem
amostras,
estão contaminadas e extraímos
sem reposição. Seja
o número de contaminadas na amostra; então
Queremos
. Numericamente
Passo 5
d. Se fizermos 16 análises independentes com
, o número
de contaminadas é binomial
:
Procuramos
. O cálculo dá
Passo 6
e. Definimos
como o número de análises até obter a segunda contaminação.
é negativa binomial com parâmetros
e
:
Queremos
. Calculando, achamos
Resposta
a. 50
b. 0,017
c. 0,965
d. 1,000
e. 0,006
b. 0,017
c. 0,965
d. 1,000
e. 0,006