Registros de um laboratório mostram que 2% das amostras de um determinado material são perdidas por contaminação. Responda cada um dos seguintes items declarando a variável aleatória e a sua distribuição. Se preciso, faça suposições necessárias e adequadas em cada caso.
OBS 1: Os valores entre parêntesis no início de cada item indicam o número de decimais e tolerãncia nas respostas, respectivamente.
OBS 2: Utilize vírgula (",") como caractere separador de decimais, por exemplo: 0,123.
a. (2,0.100) Em um teste para avaliar a contaminação, análises serão feitas sequencialmente até que a primeira contaminada seja encontrada. Quantas análises ao todo espera-se fazer?
square
b. (3,0.005) Considere agora que o laboratório faz um grande número de análises por semana e registra uma média de 2.0 casos de contaminação por semana. Qual a probabilidade de que em uma determinada semana sejam registradas mais de 5 contaminações? square
c. (3,0.005) Um lote contendo 80 amostras das quais 2 eram contaminadas foi enviado para um outro laboratório no qual 16 amostras foram selecionadas ao acaso (e sem reposição) para testes. Qual a probabilidade de encontrar 1 ou menos contaminadas entre as selecionadas? square
d. (3,0.005) Se forem feitas 16 análises qual a probabilidade de que menos do que 4 sejam contaminadas? square
e. (3,0.005) Um teste será conduzido com análises feitas sequencialmente até encontrar a segunda contaminação. Qual a probabilidade de que o número total de análises seja de no máximo 6? square

Passo 1

O enunciado diz que cada amostra tem probabilidade de contaminação p=0,02. Vamos modelar cada item usando as distribuições clássicas de variáveis discretas: geométrica para “até a primeira contaminação”, Poisson para contagens em intervalos fixos, hipergeométrica para amostragem sem reposição, binomial para ensaios independentes e negativa binomial para “até a segunda contaminação”. A seguir, em cada passo, definimos a variável, a distribuição e calculamos o valor pedido.

Passo 2

a. Definimos X como o número de análises até encontrar a primeira contaminada.
X segue distribuição geométrica de parâmetro p=0,02, isto é
P(X=k)=(1-p)^k-1p, k=1,2,dots
O valor esperado de X é
E[X]=1p=10,02=50

Passo 3

b. Como o laboratório registra em média 2 contaminadas por semana, modelamos Y por Poisson de parâmetro lambda=2, ou seja
P(Y=k)=e^-lambdalambda^kk!, k=0,1,2,dots
Queremos P(Y>5)=1-sumk=0^5P(Y=k).
Calculando numericamente, obtém‐se
P(Y>5)approx0,0166approx0,017

Passo 4

c. Aqui o lote tem N=80 amostras, K=2 estão contaminadas e extraímos n=16 sem reposição. Seja Z o número de contaminadas na amostra; então
P(Z=k)=binom2k,binom7816-kbinom8016, k=0,1,2
Queremos P(Z<=1)=P(Z=0)+P(Z=1). Numericamente
P(Z<=1)approx0,6400+0,3250=0,9650approx0,965

Passo 5

d. Se fizermos 16 análises independentes com p=0,02, o número W de contaminadas é binomial B(n=16,p=0,02):
P(W=k)=binom16kp^k(1-p)^16-k
Procuramos P(W<4)=sumk=0^3P(W=k). O cálculo dá
P(W<4)approx0,9998approx1,000

Passo 6

e. Definimos V como o número de análises até obter a segunda contaminação. V é negativa binomial com parâmetros r=2 e p=0,02:
P(V=k)=binomk-1r-1p^r(1-p)^k-r, k=2,3,dots
Queremos P(V<=6)=sumk=2^6P(V=k). Calculando, achamos
P(V<=6)approx0,00569approx0,006

Resposta

a. 50
b. 0,017
c. 0,965
d. 1,000
e. 0,006

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