Os registros revelam que, t semanas após o primeiro surto de uma determinada gripe, aproximadamente Q(t)=201+19 e^-1,2 t milhares de indivíduos contraíram a doença.
Após quanto tempo foram registradas 10.000 pessoas infectadas?

Passo 1

O enunciado dá uma função logística que fornece o número de infectados (em milhares) t semanas após o surto: Q(t)=201+19e^-1,2t. Queremos saber para que t temos 10 000 infectados, ou seja Q(t)=10 (pois 10 mil = 10 milhares). Vamos usar propriedades de equações exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, igualamos Q(t) a 10:
201+19e^-1,2t=10
Multiplicamos ambos os lados por 1+19e^-1,2t e depois isolamos o termo exponencial:
$$
20=10\bigl(1+19e^{-1{,}2t}\bigr)
$$
$$
20=10+190e{-1{,}2t}\quad\Longrightarrow\quad10=190e{-1{,}2t}$$
20=10l(1+19e^-1,2tr)

Passo 3

Agora aplicamos logaritmo natural para resolver para t:
-1,2t=lnl(tfrac119r)=-ln(19)
t=ln(19)1,2

Passo 4

Por fim, calculando numericamente: ln(19)approx2,9444, logo
tapprox2,94441,2approx2,454 semanas

Resposta

Aproximadamente 2,45 semanas após o primeiro surto.

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