1- Para cada função abaixo pede-se:
a) Calcule os pontos críticos.
b) Intervalos de crescimento e de decrescimento (Estudo do sinal da derivada de primeira ordem)
c) Identifique os extremos relativos.
d) Estudo da concavidade (Estudo do sinal da derivada de segunda ordem)
e) Identifique o ponto de inflexão
f) Um esboço do gráfico da função
f(t)=2 t^3+3 t^2-12 t-7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função $ f(t) = 2t^{3} + 3t^{2} - 12t -7 $ usando cálculo diferencial. Vamos descobrir os pontos críticos, entender onde a função cresce ou decresce, identificar máximos e mínimos, analisar a concavidade, encontrar pontos de inflexão e, por fim, esboçar o gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Para isso, precisamos calcular a derivada primeira $ f’(t) $.
A derivada de $ f(t) = 2t^{3} + 3t^{2} - 12t -7 $ é:
f'(t)
Agora, igualamos $ f’(t) $ a zero para encontrar os pontos críticos:
f(t) = 2t^3 + 3t^2 - 12t -7
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:
f'(t) = ddt(2t^3) + ddt(3t^2) + ddt(-12t) + ddt(-7) = 6t^2 + 6t -12
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
f'(t)
Então, temos duas soluções:
6t^2 + 6t -12 = 0
Portanto, os pontos críticos são $ t = 1 $ e $ t = -2 $.

Passo 3

Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Isso envolve analisar o sinal da derivada primeira $ f’(t) $.
Temos $ f’(t) = 6t^{2} + 6t -12 = 6(t^{2} + t -2) $.
Como 6 é positivo, o sinal de $ f’(t) $ depende do sinal de $ t^{2} + t -2 $.
Encontramos que $ t^{2} + t -2 = 0 $ tem raízes em $ t = 1 $ e $ t = -2 $. Vamos dividir a reta número em três intervalos:
  1. $ t < -2 $
  2. $ -2 < t < 1 $
  3. $ t > 1 $
Escolhemos valores de teste em cada intervalo:
  • Para $ t < -2 $, por exemplo, $ t = -3 $:
    f'(t)
    Então, a função cresce nesse intervalo.
  • Para $ -2 < t < 1 $, por exemplo, $ t = 0 $:
    f'(t) = 6t^2 + 6t -12 = 6(t^2 + t -2)
    A função decresce nesse intervalo.
  • Para $ t > 1 $, por exemplo, $ t = 2 $:
    f'(t)
    A função cresce nesse intervalo.

Passo 4

Com base nos intervalos de crescimento e decrescimento, vamos identificar os extremos relativos.
  • Em $ t = -2 $, a função passa de crescendo para decrescendo. Isso significa que $ t = -2 $ é um máximo relativo.
  • Em $ t = 1 $, a função passa de decrescendo para crescendo. Isso indica que $ t = 1 $ é um mínimo relativo.
Para encontrar as coordenadas desses extremos, calculamos $ f(-2) $ e $ f(1) $:
t = -2
t = -2
Então, os extremos relativos são:
  • Máximo relativo em $ (-2, 13) $
  • Mínimo relativo em $ (1, -14) $

Passo 5

Vamos agora estudar a concavidade da função utilizando a derivada segunda $ f’’(t) $.
Primeiro, calculamos $ f’’(t) $:
f''(t)
Agora, analisamos o sinal de $ f’’(t) $:
  • Se $ f’’(t) > 0 $, a função é côncava para cima.
  • Se $ f’’(t) < 0 $, a função é côncava para baixo.
Resolvemos $ f’’(t) = 0 $:
f''(t)
Então, dividimos a reta número em dois intervalos:
  1. $ t < -\frac{1}{2} $
  2. $ t > -\frac{1}{2} $
Escolhemos valores de teste:
  • Para $ t < -\frac{1}{2} $, por exemplo, $ t = -1 $:
    f'(t) = 6t^2 + 6t -12 f''(t) = ddt(6t^2) + ddt(6t) + ddt(-12) = 12t +6
    A função é côncava para baixo nesse intervalo.
  • Para $ t > -\frac{1}{2} $, por exemplo, $ t = 0 $:
    f''(t)
    A função é côncava para cima nesse intervalo.

Passo 6

Por fim, vamos identificar o ponto de inflexão, que ocorre onde a concavidade muda, ou seja, onde $ f’’(t) = 0 $.
Encontramos que isso acontece em $ t = -\frac{1}{2} $.
Para encontrar a coordenada $ f(-\frac{1}{2}) $:
f''(t) = 0
Então, o ponto de inflexão é $ \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) $.

Resposta

Com todas as análises feitas, o esboço do gráfico da função $ f(t) = 2t^{3} + 3t^{2} -12t -7 $ apresenta:
  • Um máximo relativo em $ (-2, 13) $ e um mínimo relativo em $ (1, -14) $.
  • A função cresce nos intervalos $ (-\infty, -2) $ e $ (1, \infty) $, e decresce no intervalo $ (-2, 1) $.
  • A concavidade é para baixo em $ (-\infty, -\frac{1}{2}) $ e para cima em $ (-\frac{1}{2}, \infty) $, com um ponto de inflexão em $ \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) $.
O gráfico refletirá essas características, mostrando as curvas ascendentes e descendentes, os pontos máximos e mínimos, e a mudança na concavidade no ponto de inflexão.

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