Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas.
f(x)=sen x, g(x)=cos x ;(a, b)=(0, pi)

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas f(x)=sin x e g(x)=cos x no intervalo (0,pi). Vamos usar a teoria de área entre duas curvas, que diz que a área é dada por integrala^bl(função superior-função inferiorr),dxçãçã.

Passo 2

Primeiro, encontramos os pontos de interseção resolvendo sin x=cos x. Isso implica tan x=1, logo x=pi/4 no intervalo (0,pi).

Passo 3

Precisamos saber qual função está por cima em cada parte. Para 0, teste em x=0: cos0=1>0=sin0, então g(x)=cos x é superior a f(x)=sin x. Para pi/4, teste em x=pi/2: sin(pi/2)=1>0=cos(pi/2), então f(x)=sin x é superior.

Passo 4

Montamos duas integrais, uma para cada subintervalo:
Área=integral0^pi/4(cos x-sin x),dx+integralpi/4^pi(sin x-cos x),dxÁ

Passo 5

Calculando a primeira parte:
integral(cos x-sin x),dx=sin x+cos x,
então
integral0^pi/4(cos x-sin x),dx=(sin(tfracpi4)+cos(tfracpi4))-(sin0+cos0)=raiz2-1

Passo 6

Calculando a segunda parte:
integral(sin x-cos x),dx=-cos x-sin x,
então
integralpi/4^pi(sin x-cos x),dx=[-cos x-sin x]pi/4^pi=(1+raiz2)

Passo 7

Somando as duas áreas obtém-se
l(raiz2-1r)+(1+raiz2)=2raiz2

Resposta

2raiz2

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