A regra da cadeia nos ajuda a determinar a derivada de uma função composta. Seu enunciado diz que:
Se y é uma função de u e se a derivada de y em relação a u existe, e se
é uma função de x e se a derivada de
em relação a x existe, então y é uma função de x e a derivada de y em relação a x existe e é dada por:
Diante do exposto, determine as derivadas das funções compostas apresentadas nos itens I, II e III, e analise as afirmações seguintes:
- A derivada da função
é igual a
.
Se y é uma função de u e se a derivada de y em relação a u existe, e se
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar a derivada de uma função composta usando a regra da cadeia. A função que vamos derivar é
. Para isso, vamos precisar saber como aplicar a regra da cadeia e lembrar que a derivada de uma função composta envolve derivar as funções interna e externa separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes da função composta. A função
pode ser vista como uma função externa e uma função interna:
- Função externa:
, onde é uma função de . - Função interna:
.
Passo 3
Agora, vamos derivar cada uma dessas funções separadamente:
- Derivada da função externa em relação a
: - Derivada da função interna em relação a
:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia, que nos diz que:
Vamos multiplicar as derivadas que encontramos:
Passo 5
Por fim, substituímos
de volta na express��o:
Resposta
A derivada da função
é
.