A regra da cadeia nos ajuda a determinar a derivada de uma função composta. Seu enunciado diz que:
Se y é uma função de u e se a derivada de y em relação a u existe, e se u é uma função de x e se a derivada de u em relação a x existe, então y é uma função de x e a derivada de y em relação a x existe e é dada por:
d yd x=d yd u cdot d ud x
Diante do exposto, determine as derivadas das funções compostas apresentadas nos itens I, II e III, e analise as afirmações seguintes:
  1. A derivada da função f(x)=(2 x-1)^3 é igual a f^prime(x)=3 cdot(2 x-1)^2.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar a derivada de uma função composta usando a regra da cadeia. A função que vamos derivar é . Para isso, vamos precisar saber como aplicar a regra da cadeia e lembrar que a derivada de uma função composta envolve derivar as funções interna e externa separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função composta. A função pode ser vista como uma função externa e uma função interna:
  • Função externa: , onde é uma função de .
  • Função interna: .

Passo 3

Agora, vamos derivar cada uma dessas funções separadamente:
  • Derivada da função externa em relação a dydu = 3u^2 : dudx = 2
  • Derivada da função interna em relação a :

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, que nos diz que:
dydx = dydu cdot dudx
Vamos multiplicar as derivadas que encontramos:
dydx = 3u^2 cdot 2 = 6u^2

Passo 5

Por fim, substituímos dydx = 6(2x - 1)^2 de volta na express��o:

Resposta

A derivada da função é .

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