Pela regra da cadeia, derive:
f(x)=x^5 x^3+e^-x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^5x^3 + e^-x. O conteúdo principal é derivação de potências com base e expoente variáveis. Para resolver, vamos usar diferenciação logarítmica, a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural de f(x). Assim, definimos
ln f(x)=lnl(x^5x^3 + e^-xr)=(5x^3 + e^-x)ln x
Essa técnica transforma a potência em produto, facilitando a derivada.

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo,
ddx[ln f(x)] = f'(x)f(x)
No lado direito aplicamos a regra do produto em (5x^3 + e^-x)ln x:
ddx[(5x^3 + e^-x)ln x] = (15x^2 - e^-x)ln x + (5x^3 + e^-x)cdot1x
Que se expande para
15x^2ln x - e^-xln x + 5x^2 + e^-xx
Portanto,
f'(x)f(x) = 15x^2ln x + 5x^2 - e^-xln x + e^-xx

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por f(x) para obter f'(x). Como f(x)=x^5x^3 + e^-x, concluímos que

Resposta

f'(x) = x^5x^3 + e^-xl(15x^2ln x + 5x^2 - e^-xln x + e^-xxr)

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