[14] integral0^1 1(x^2+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^1 1(x^2+1)^2 ,dx. O conteúdo envolvido é o de integrais de funções racionais que se beneficiam de substituição trigonométrica para obter uma primitiva simples. Vamos usar x=tantheta.

Passo 2

Fazendo a substituição x=tantheta, temos:
x=tantheta, dx=sec^2theta,dtheta,1+x^2=sec^2theta

Passo 3

Com isso a integral vira:
integraldx(1+x^2)^2=integralsec^2thetasec^4theta,dtheta=integralcos^2theta,dtheta

Passo 4

Agora calculamos integralcos^2theta,dtheta. Usando a identidade cos^2theta=tfrac12(1+cos2theta),
integralcos^2theta,dtheta=12integral(1+cos2theta),dtheta=theta2+sin2theta4+C

Passo 5

Voltando a x, temos theta=arctan x e sin2theta=2sinthetacostheta=2x1+x^2. Logo a primitiva é
I(x)=arctan x2+x2(1+x^2)+C

Passo 6

Por fim, aplicando os limites de 0 a 1:
I(1)-I(0)=l(arctan12+12cdot2r)-0=pi/42+14=pi8+14=2+pi8

Resposta

2+pi8

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