Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento
15.
f(x)=\cos \left(\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\cos\bigl(\sin(x^{2})\bigr)
em relação a x. Vamos aplicar a regra da cadeia em três camadas: a função externa \cos(u), a função intermediária \sin(v) e a função interna v=x^{2}.

Passo 2

Definimos
u(x)=\sin(x^{2}),
de modo que
f(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr).
Pela regra da cadeia, a derivada de \cos(u) é
f'(x)=-\sin\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 3

Agora derivamos u(x). Escrevemos
u(x)=\sin\bigl(v(x)\bigr),\quad v(x)=x^{2}.
Aplicando a regra da cadeia de novo, temos
u'(x)=\cos\bigl(v(x)\bigr)\cdot v'(x).
Como
v'(x)=2x,
segue
u'(x)=\cos(x^{2})\cdot 2x.

Passo 4

Substituindo u'(x) na expressão de f'(x), obtemos
f'(x)=-\sin\bigl(\sin(x^{2})\bigr)\,\bigl(\cos(x^{2})\cdot 2x\bigr).
Agrupando os fatores, fica
f'(x)=-2x\,\sin\bigl(\sin(x^{2})\bigr)\,\cos(x^{2}).

Resposta

f'(x)=-2x\,\sin\bigl(\sin(x^{2})\bigr)\,\cos(x^{2}).

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