Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento
14.
f(x)=\cos \left(\frac{x^{4}}{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede para derivar
f(x)=\cos\Bigl(\tfrac{x^{4}}{4}\Bigr)
usando a regra da cadeia. Identificamos a função externa
g(u)=\cos(u)
e a função interna
u(x)=\frac{x^{4}}{4}.

Passo 2

Derivamos a função interna u(x):
u(x)=\frac{x^{4}}{4}
e, pelo poder de derivação,
u'(x)=\frac{4x^{3}}{4}=x^{3}.

Passo 3

Derivamos a função externa g(u) em relação a u:
g(u)=\cos(u)
então
g'(u)=-\sin(u).

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, temos
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =-\sin\Bigl(\tfrac{x^{4}}{4}\Bigr)\cdot x^{3}.

Resposta

f'(x)=-x^{3}\,\sin\Bigl(\frac{x^{4}}{4}\Bigr).

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