Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento
11.
f(x)=\frac{\ln \left(x^{4}+2 x^{2}\right)}{4 x^{3}+4 x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \frac{\ln\!\bigl(x^{4} + 2x^{2}\bigr)}{4x^{3} + 4x}
em relação a x. Vamos usar a regra do quociente (para \tfrac{u}{v}) e, dentro disso, a regra da cadeia para derivar o numerador \ln(g(x)).

Passo 2

Definimos
u(x) = \ln\!\bigl(x^{4} + 2x^{2}\bigr), \quad v(x) = 4x^{3} + 4x.
Então
f(x) = \frac{u(x)}{v(x)},
e pela regra do quociente
f'(x) = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.

Passo 3

Calculamos u'(x) usando regra da cadeia em u(x)=\ln(g(x)) com
g(x) = x^{4} + 2x^{2} \quad\Longrightarrow\quad g'(x) = 4x^{3} + 4x.
Logo
u'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)} = \frac{4x^{3} + 4x}{x^{4} + 2x^{2}}.

Passo 4

Calculamos v'(x). Como v(x)=4x^{3}+4x,
v'(x) = 12x^{2} + 4.

Passo 5

Substituindo em
f'(x) = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}
obtemos
f'(x) = \frac{\displaystyle \frac{4x^{3} + 4x}{x^{4} + 2x^{2}} \;(4x^{3} + 4x) \;-\;\ln\!\bigl(x^{4} + 2x^{2}\bigr)\;(12x^{2}+4) }{\bigl(4x^{3} + 4x\bigr)^{2}}.

Passo 6

No numerador o primeiro termo fica
\frac{(4x^{3}+4x)^{2}}{x^{4}+2x^{2}},
então
f'(x) = \frac{\displaystyle \frac{(4x^{3}+4x)^{2}}{x^{4}+2x^{2}} \;-\;(12x^{2}+4)\,\ln\!\bigl(x^{4}+2x^{2}\bigr) }{\bigl(4x^{3}+4x\bigr)^{2}}.

Passo 7

Fatorando 4x^{3}+4x=4x(x^{2}+1) e simplificando, uma forma mais enxuta é
f'(x) = \frac{\displaystyle \frac{4\,(x^{2}+1)^{2}}{x^{2}+2} \;-\;(3x^{2}+1)\,\ln\!\bigl(x^{4}+2x^{2}\bigr) }{4\,x^{2}\,(x^{2}+1)^{2}}.

Resposta

\boxed{ f'(x) = \frac{\displaystyle \frac{4\,(x^{2}+1)^{2}}{x^{2}+2} \;-\;(3x^{2}+1)\,\ln\!\bigl(x^{4}+2x^{2}\bigr) }{4\,x^{2}\,(x^{2}+1)^{2}} }.

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