Determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento
  1. f(x)=5 x^{4}+2 x^{3}-x^{2}-3 x+8

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função polinomial
f(x) = 5x^{4} + 2x^{3} - x^{2} - 3x + 8.
O conteúdo envolvido é a derivação de polinômios, usando a linearidade da derivada e a regra do expoente.

Passo 2

Lembre que:
  1. A derivada de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas.
  2. A derivada da função potência \,x^{n} é dada por
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr) = n\,x^{n-1}.

Passo 3

Vamos derivar termo a termo, aplicando a regra do expoente e multiplicando pelo coeficiente:
\dfrac{d}{dx}\bigl(5x^{4}\bigr) = 5 \cdot 4x^{3} = 20x^{3}.
\dfrac{d}{dx}\bigl(2x^{3}\bigr) = 2 \cdot 3x^{2} = 6x^{2}.
\dfrac{d}{dx}\bigl(-x^{2}\bigr) = -1 \cdot 2x = -2x.
\dfrac{d}{dx}\bigl(-3x\bigr) = -3.
\dfrac{d}{dx}(8) = 0.

Passo 4

Somando todas as parcelas obtidas, a derivada é
f'(x) = 20x^{3} + 6x^{2} - 2x - 3.

Resposta

f'(x) = 20x^{3} + 6x^{2} - 2x - 3.

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