Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento
f(t)=\frac{\left(x^{2}+x\right)^{4}}{\left(t^{2}+t+1\right)^{7}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(t)=\frac{\bigl(x^{2}+x\bigr)^{4}}{\bigl(t^{2}+t+1\bigr)^{7}}
em que t é a variável e x deve ser tratado como constante. Vamos usar a regra da cadeia aplicada a uma potência negativa.

Passo 2

Reescrevemos
f(t)=(x^{2}+x)^{4}\,\bigl(t^{2}+t+1\bigr)^{-7}.
Aqui (x^{2}+x)^{4} é constante em relação a t. Definimos
g(t)=t^{2}+t+1,
então
f(t)=(x^{2}+x)^{4}\,[\,g(t)\,]^{-7}.

Passo 3

Por regra da cadeia, se h(t)=\bigl[g(t)\bigr]^{-7}, então
h'(t)=-7\,[\,g(t)\,]^{-8}\,g'(t).
Como
g'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}+t+1\bigr)=2t+1,
temos
\frac{d}{dt}\bigl[g(t)^{-7}\bigr] =-7\,(2t+1)\,g(t)^{-8}.

Passo 4

Agora, aplicando isso a f(t):
f'(t)=(x^{2}+x)^{4}\,\frac{d}{dt}\bigl[g(t)^{-7}\bigr] =(x^{2}+x)^{4}\,\bigl[-7\,(2t+1)\,g(t)^{-8}\bigr].
Substituindo g(t)=t^{2}+t+1, obtemos
f'(t)=-7\,(2t+1)\,(x^{2}+x)^{4}\,\bigl(t^{2}+t+1\bigr)^{-8}.

Resposta

f'(t) =-\frac{7\,(2t+1)\,(x^{2}+x)^{4}}{\bigl(t^{2}+t+1\bigr)^{8}}.

Exercícios relacionados