Usando a definição de derivada determine:
O ponto onde a derivada da função f(x)=|2 x+4|+3 não existe.

Passo 1

O enunciado pede para usar a definição de derivada e identificar o ponto onde f(x)=|2x+4|+3 não é diferenciável. O conteúdo envolve derivada de valor absoluto, reescrever a função em forma piecewise, calcular derivadas laterais e comparar esses limites.

Passo 2

Para reescrever f sem o módulo, note que 2x+4\ge0 quando x\ge -2 e 2x+4<0 quando x< -2. Assim,
f(x)=|2x+4|+3 =\begin{cases} -(2x+4)+3=-2x-1, & x< -2,\\\ \;\;(2x+4)+3=2x+7, & x\ge -2. \end{cases}

Passo 3

Para x< -2, f(x)=-2x-1 é linear com derivada constante
f'(x)=-2.
Para x> -2, f(x)=2x+7 é linear com derivada constante
f'(x)=2.

Passo 4

Em x=-2, usamos a definição de derivada via limites laterais. Primeiro calcule f(-2). Em qualquer ramo, dá
f(-2)=-2\cdot(-2)-1=3\quad\text{ou}\quad f(-2)=2\cdot(-2)+7=3.
A derivada à esquerda é
\lim_{x\to -2^-}\frac{f(x)-f(-2)}{x+2} =\lim_{x\to -2^-}\frac{(-2x-1)-3}{x+2} =\lim_{x\to -2^-}\frac{-2x-4}{x+2} =-2.
A derivada à direita é
\lim_{x\to -2^+}\frac{f(x)-f(-2)}{x+2} =\lim_{x\to -2^+}\frac{(2x+7)-3}{x+2} =\lim_{x\to -2^+}\frac{2x+4}{x+2} =2.
Como -2\neq2, a derivada não existe em x=-2.

Resposta

A derivada de f não existe em x=-2.

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