Usando a definição de derivada determine:
O valor da constante a para que função
f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} 3 x^{2}-x+2 & \text { se } x<1 \\ a x-2 & \text { se } x \geq 1 \end{array} \right.
seja derivável em todo seu domínio.

Passo 1

Temos a função por partes
f(x)= \begin{cases} 3x^{2}-x+2, & x<1,\\\ a x-2, & x\ge1. \end{cases}
Como polinômios são deriváveis em toda parte, só precisamos garantir derivabilidade em x=1. Para isso é necessário que em x=1 haja continuidade e que as derivadas laterais coincidam.

Passo 2

Impondo continuidade em x=1:
\lim_{x\to1^-}f(x)=3\cdot1^{2}-1+2=4,
\lim_{x\to1^+}f(x)=a\cdot1-2=a-2.
Igualando para haver continuidade:
a-2=4 \quad\Longrightarrow\quad a=6.

Passo 3

Agora as derivadas laterais em x=1.
Para x<1,
f'_{-}(x)=\frac{d}{dx}(3x^{2}-x+2)=6x-1,
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f'_{-}(1)=6\cdot1-1=5.
Para x\ge1,
f'_{+}(x)=\frac{d}{dx}(ax-2)=a,
logo
f'_{+}(1)=a.
Para coincidir as derivadas: a=5.

Passo 4

Da continuidade obtivemos a=6 e da igualdade das derivadas obtivemos a=5. Como não há valor de a que satisfaça simultaneamente as duas condições, não existe a que torne f derivável em todo o seu domínio.

Resposta

Não existe valor de a que torne f derivável em todo o seu domínio.

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