Dadas as funções y definidas implicitamente abaixo, encontre y^{\prime}
a \operatorname{sen}^{2}(x+y)=b

Passo 1

O enunciado define y implicitamente por
a\,\sin^2(x+y)=b
onde a e b são constantes, e pede a derivada y'. Vamos usar derivação implícita e a regra da cadeia.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(a\,\sin^2(x+y)\bigr)=\frac{d}{dx}(b).
Como a e b são constantes, o lado direito é zero, ficando
a\,\frac{d}{dx}\bigl(\sin^2(x+y)\bigr)=0.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia em \sin^2(x+y):
\frac{d}{dx}\sin^2(x+y) =2\,\sin(x+y)\,\cos(x+y)\,\frac{d}{dx}(x+y).
Logo
a\cdot2\,\sin(x+y)\cos(x+y)\,(1+y')=0.

Passo 4

Como 2a\,\sin(x+y)\cos(x+y) em geral não é zero (fora dos pontos singulares), podemos dividir e obter
1+y'=0 \quad\Longrightarrow\quad y'=-1.

Resposta

y'=-1

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