Usando a definição de derivada determine:
O ponto onde a derivada da função f(x)=|2 x+4|+3 não existe.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ponto onde a derivada da função
f(x)=|2x+4|+3
não existe, usando a definição de derivada. O conteúdo aqui é derivada de função envolvendo valor absoluto, que é contínua mas pode falhar em ser diferenciável onde o argumento muda de sinal.

Passo 2

Para aplicar a definição de derivada, primeiro escrevemos f em forma piecewise, analisando o sinal de 2x+4.
Para 2x+4\ge0, isto é, x\ge -2, temos
f(x)=2x+4+3=2x+7.
Para 2x+4<0, isto é, x< -2, temos
f(x)=-(2x+4)+3=-2x-4+3=-2x-1.

Passo 3

Em cada ramo, f é uma função linear, portanto diferenciável em todos os pontos desses intervalos. Logo, para x>-2,
f'(x)=\frac{d}{dx}(2x+7)=2,
e para x< -2,
f'(x)=\frac{d}{dx}(-2x-1)=-2.

Passo 4

Falta verificar o ponto x=-2. Usamos a definição de derivada por limites laterais:
f'_{+}(-2)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{2(-2+h)+7-\bigl(2(-2)+7\bigr)}{h} =2,
f'_{-}(-2)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h} =\lim_{h\to0^-}\frac{-2(-2+h)-1-\bigl(-2(-2)-1\bigr)}{h} =-2.
Como f'_{+}(-2)\neq f'_{-}(-2), a derivada não existe em x=-2.

Resposta

-2

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