(Regra de L’Hospital) Calcule, via Regra de L’Hospital, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 5} \frac{\sqrt{x-1}-2}{x^{2}-25} \quad \frac{1}{40}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{x-1}-2}{x^{2}-25}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão é uma função de x.
  • O objetivo é calcular o valor do limite quando x tende a 5.
  • O enunciado pede especificamente para usar a Regra de L’Hospital.

Passo 2

Verificar o que acontece se substituirmos x=5 diretamente na expressão (teste de forma indeterminada):
\sqrt{5-1}-2=\sqrt{4}-2=2-2=0,
5^{2}-25=25-25=0.
Portanto a forma obtida é 0/0, que é uma forma indeterminada. Isso justifica considerar a aplicação da Regra de L’Hospital.

Passo 3

Enunciado rápido da Regra de L’Hospital (versão que usaremos):
Sejam f e g funções diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) e se
\lim_{x\to a} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=0
ou ambas tendem a \pm\infty, e se \lim_{x\to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui f(x)=\sqrt{x-1}-2 e g(x)=x^{2}-25. Ambas são diferenciáveis numa vizinhança de x=5 (note que \sqrt{x-1} é diferenciável para x>1, portanto em torno de 5 está tudo bem). Assim, as hipóteses da Regra de L’Hospital estão satisfeitas e podemos aplicá-la.

Passo 4

Calcular as derivadas f'(x) e g'(x).
Derivada de f(x)=\sqrt{x-1} - 2. Escrever \sqrt{x-1}=(x-1)^{1/2}. Pela regra do poder e regra da cadeia,
\frac{d}{dx}(x-1)^{1/2}=\frac{1}{2}(x-1)^{-1/2}\cdot\frac{d}{dx}(x-1).
Como \dfrac{d}{dx}(x-1)=1, temos
f'(x)=\frac{1}{2}(x-1)^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}.
A constante -2 tem derivada zero.
Derivada de g(x)=x^{2}-25:
g'(x)=\frac{d}{dx}x^{2}-\frac{d}{dx}25=2x-0=2x.

Passo 5

Aplicar a Regra de L’Hospital trocando o limite pela razão das derivadas:
\lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{x-1}-2}{x^{2}-25} = \lim_{x\to 5}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to 5}\frac{\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}}{2x}.

Passo 6

Simplificar a razão das derivadas. Dividir por 2x equivale a multiplicar pelo recíproco:
\frac{\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}}{2x} =\frac{1}{2\sqrt{x-1}}\cdot\frac{1}{2x} =\frac{1}{4x\sqrt{x-1}}.
Logo
\lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{x-1}-2}{x^{2}-25} =\lim_{x\to 5}\frac{1}{4x\sqrt{x-1}}.

Passo 7

Agora avaliar o limite pelo valor de x\to 5 (a expressão já é contínua em x=5):
\sqrt{5-1}=\sqrt{4}=2,
então
\frac{1}{4\cdot 5\cdot 2}=\frac{1}{40}.

Resposta

\dfrac{1}{40}

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