(Regra de L’Hospital) Calcule, via Regra de L’Hospital, os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão é uma função de
. - O objetivo é calcular o valor do limite quando
tende a . - O enunciado pede especificamente para usar a Regra de L’Hospital.
Passo 2
Verificar o que acontece se substituirmos
diretamente na expressão (teste de forma indeterminada):
Portanto a forma obtida é
, que é uma forma indeterminada. Isso justifica considerar a aplicação da Regra de L’Hospital.
Passo 3
Enunciado rápido da Regra de L’Hospital (versão que usaremos):
Sejam e
funções diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
) e se
Sejam
ou ambas tendem a
, e se
existe (ou é
), então
Aqui
e
. Ambas são diferenciáveis numa vizinhança de
(note que
é diferenciável para
, portanto em torno de
está tudo bem). Assim, as hipóteses da Regra de L’Hospital estão satisfeitas e podemos aplicá-la.
Passo 4
Calcular as derivadas
e
.
Derivada de
. Escrever
. Pela regra do poder e regra da cadeia,
Como
, temos
A constante
tem derivada zero.
Derivada de
:
Passo 5
Aplicar a Regra de L’Hospital trocando o limite pela razão das derivadas:
Passo 6
Simplificar a razão das derivadas. Dividir por
equivale a multiplicar pelo recíproco:
Logo
Passo 7
Agora avaliar o limite pelo valor de
(a expressão já é contínua em
):
então