(Regra de L’Hospital) Calcule, via Regra de L’Hospital, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^{5}-6 x^{3}+8 x-3}{x^{4}-1}-\frac{5}{4}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\rightarrow 5}\left(\frac{x^{5}-6x^{3}+8x-3}{x^{4}-1}-\frac{5}{4}\right).
Informações dadas:
  • É a diferença entre uma função racional \dfrac{x^{5}-6x^{3}+8x-3}{x^{4}-1} e a constante \dfrac{5}{4}.
  • O ponto de interesse é x=5.
O que se quer: calcular o limite quando x tende a 5.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se há uma forma indeterminada do tipo \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty} — isto é condição necessária para aplicar a Regra de L’Hospital. Para isso, avalio a função racional no ponto x=5.
Calculo o numerador em x=5:
5^{5}=3125,\qquad 6\cdot5^{3}=6\cdot125=750,\qquad 8\cdot5=40,
portanto
5^{5}-6\cdot5^{3}+8\cdot5-3 = 3125-750+40-3 = 2412.
Calculo o denominador em x=5:
5^{4}-1 = 625-1 = 624.
Logo a parte racional tem valor bem definido em x=5:
\frac{5^{5}-6\cdot5^{3}+8\cdot5-3}{5^{4}-1} = \frac{2412}{624}.
Como o denominador da parte racional em x=5 é diferente de zero, não estamos diante de uma indeterminação \tfrac{0}{0} nem \tfrac{\infty}{\infty}. Portanto a Regra de L’Hospital NÃO é aplicável aqui — não é necessária. Quando não há indeterminação, o limite é simplesmente o valor pelo qual a expressão tende ao substituir x=5.

Passo 3

Agora calculo a diferença pedida substituindo e simplificando. Escrevo a diferença com denominador comum 624:
\frac{2412}{624}-\frac{5}{4}.
Como \dfrac{5}{4}=\dfrac{5\cdot156}{624}=\dfrac{780}{624}, obtemos
\frac{2412}{624}-\frac{780}{624}=\frac{2412-780}{624}=\frac{1632}{624}.

Passo 4

Simplifico a fração \dfrac{1632}{624}. Podemos dividir numerador e denominador por 48 (ou por outros divisores sucessivamente). Fazendo a divisão:
\frac{1632}{48}=34,\qquad \frac{624}{48}=13,
portanto
\frac{1632}{624}=\frac{34}{13}.

Passo 5

Conclusão: como não havia indeterminação, não se aplica L’Hospital e basta avaliar por substituição e simplificar. O valor do limite é \dfrac{34}{13}. Força aí nos estudos — você já fez a parte mais chata: checar indeterminação e simplificar certinho!

Resposta

\dfrac{34}{13}

Exercícios relacionados