(Regra de L’Hospital) Calcule, via Regra de L’Hospital, os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- É a diferença entre uma função racional
e a constante . - O ponto de interesse é
.
O que se quer: calcular o limite quando
tende a
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se há uma forma indeterminada do tipo
ou
— isto é condição necessária para aplicar a Regra de L’Hospital. Para isso, avalio a função racional no ponto
.
Calculo o numerador em
:
portanto
Calculo o denominador em
:
Logo a parte racional tem valor bem definido em
:
Como o denominador da parte racional em
é diferente de zero, não estamos diante de uma indeterminação
nem
. Portanto a Regra de L’Hospital NÃO é aplicável aqui — não é necessária. Quando não há indeterminação, o limite é simplesmente o valor pelo qual a expressão tende ao substituir
.
Passo 3
Agora calculo a diferença pedida substituindo e simplificando. Escrevo a diferença com denominador comum
:
Como
, obtemos
Passo 4
Simplifico a fração
. Podemos dividir numerador e denominador por
(ou por outros divisores sucessivamente). Fazendo a divisão:
portanto
Passo 5
Conclusão: como não havia indeterminação, não se aplica L’Hospital e basta avaliar por substituição e simplificar. O valor do limite é
. Força aí nos estudos — você já fez a parte mais chata: checar indeterminação e simplificar certinho!